Đáp án:

Giải thích các bước giải: bài 8

• Vì \(\triangle ABC\) đều nên:
  \(AB=AC\quad \text{và}\quad \widehat{BAC}=60^{\circ }\)
• Vì \(\triangle ABM\) vuông cân tại \(A\) nên:
  \(AM=AB\quad \text{và}\quad \widehat{BAM}=90^{\circ }\)
• Vì \(\triangle ACN\) vuông cân tại \(A\) nên:
  \(AN=AC\quad \text{và}\quad \widehat{CAN}=90^{\circ }\)
• Từ ba điều trên, ta suy ra bốn đoạn thẳng bằng nhau: \(AM = AB = AC = AN\).
• Ta tính các góc sau:
  \(\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}=90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }\)
  \(\widehat{BAN}=\widehat{CAN}+\widehat{BAC}=90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }\)
  \(\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{BAN}=150^{\circ }\)
• Xét \(\triangle MAC\) và \(\triangle BAN\) có:
  • \(AM = AB\) (chứng minh trên)
  • \(\widehat{MAC} = \widehat{BAN} = 150^\circ\)
  • \(AC = AN\) (chứng minh trên)
    \(\Rightarrow \triangle MAC=\triangle BAN\text{\ (c-g-c)}\)
    \(\Rightarrow MC=BN\text{\ (hai\ cnh\ tng\ ng)}\)

Bài 9

• Ta có \(BH \perp AE \Rightarrow \widehat{BHA} = 90^\circ\) (tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\)).
  \(\Rightarrow \widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^{\circ }\quad (1)\)
• Vì \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat{BAC} = 90^\circ\). Ta có:
  \(\widehat{BAH}+\widehat{CAK}=\widehat{BAC}=90^{\circ }\quad (2)\)
• Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat{ABH} = \widehat{CAK}\).
• Xét hai tam giác vuông \(\triangle ABH\) (vuông tại \(H\)) và \(\triangle CAK\) (vuông tại \(K\)) có:
  • \(AB = AC\) (do \(\triangle ABC\) vuông cân tại \(A\))
  • \(\widehat{ABH} = \widehat{CAK}\) (chứng minh trên)
    \(\Rightarrow \triangle ABH=\triangle CAK\text{\ (cnh\ huyn\ -\ góc\ nhn)}\)
    \(\Rightarrow BH=AK\quad \text{và}\quad AH=CK\text{\ (các\ cp\ cnh\ tng\ ng)}\)

b) Chứng minh \(HK = BH - CK\)

• Vì \(E\) nằm giữa \(M\) và \(C\) nên tia \(AE\) nằm trong góc \(\widehat{MAC}\). Do đó, điểm \(H\) sẽ nằm giữa \(A\) và \(K\).
• Ta có: \(AK = AH + HK\).
• Thay \(AK = BH\) và \(AH = CK\) vào đẳng thức trên:
  \(BH=CK+HK\Rightarrow HK=BH-CK\text{\ (ĐPCM)}\)

c) Chứng minh \(\triangle MHK\) vuông cân tại \(M\)

• Vì \(\triangle ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(AM\) đồng thời là đường cao và đường phân giác:
  \(AM\perp BC\Rightarrow \widehat{AMB}=90^{\circ }\)
  \(AM=MB=MC\quad \text{và}\quad \widehat{BAM}=\widehat{CAM}=45^{\circ }\)
• Ta có:
  \(\widehat{MAk}=\widehat{MAC}-\widehat{CAK}=45^{\circ }-\widehat{CAK}\)
• Mặt khác, trong tam giác vuông \(ABH\):
  \(\widehat{ABH}=90^{\circ }-\widehat{BAH}=90^{\circ }-(45^{\circ }+\widehat{MAH})=45^{\circ }-\widehat{MAH}\)
• Vì \(\widehat{CAK} = \widehat{MAH}\) (cùng chỉ góc \(\widehat{CAE}\)), nên:
  \(\widehat{MBH}=\widehat{ABC}-\widehat{ABH}=45^{\circ }-(45^{\circ }-\widehat{MAH})=\widehat{MAH}=\widehat{MAK}\)
• Xét \(\triangle MBH\) và \(\triangle MAK\) có:
  • \(MB = AM\) (chứng minh trên)
  • \(\widehat{MBH} = \widehat{MAK}\) (chứng minh trên)
  • \(BH = AK\) (do \(\triangle ABH = \triangle CAK\))
    \(\Rightarrow \triangle MBH=\triangle MAK\text{\ (c-g-c)}\)
• Từ hai tam giác bằng nhau này, ta suy ra:
  1. \(MH = MK\) \(\Rightarrow \triangle MHK\) cân tại \(M\).
  2. \(\widehat{BMH} = \widehat{AMK}\) (hai góc tương ứng).
• Ta tính góc \(\widehat{HMK}\):
  \(\widehat{HMK}=\widehat{HMA}+\widehat{AMK}=\widehat{HMA}+\widehat{BMH}=\widehat{BMA}=90^{\circ }\)
• Tam giác \(MHK\) có \(MH = MK\) và \(\widehat{HMK} = 90^\circ\) nên \(\triangle MHK\) vuông cân tại \(M\).