$a)$ 

* Vì $T$ đối xứng với $H$ qua trung điểm $I$ của $BC$

$\rightarrow$ $I$ là trung điểm $HT$ và $BC$

$\rightarrow$ Tứ giác $BHCT$ là hình bình hành $(DHNB)$

$\rightarrow TC // BH$ và $TB // CH$ (t/c)

* Vì $BH \perp AC$ và $CH \perp AB$, ta được:

$TC \perp AC \Rightarrow \widehat{ACT} = 90^\circ$

$TB \perp AB \Rightarrow \widehat{ABT} = 90^\circ$

* Gọi $O$ là trung điểm của $AT$. 

* Xét $\triangle ABT$ vuông tại $B$, $BO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền và $\triangle ACT$ vuông tại $C$ có $CO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền:

$OA = OB = OC = OT = \frac{1}{2}AT$ (t/c)

$\rightarrow \triangle OAC$ cân tại $O \rightarrow \widehat{OCA} = \widehat{OAC}$

* Trong $\triangle ACT$ vuông tại $C$, ta được:

$\widehat{ATC} = 90^\circ - \widehat{OAC}$

* Từ $OA = OB = OC$ $\rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ATC}$

* Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACF$ có:

+) $\widehat{A}$ chung

+) $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$

$\rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ACF$ (g.g)

$\rightarrow \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} \rightarrow \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$

* Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$ có:

+) $\widehat{A}$ chung

+) $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$

$\rightarrow \triangle AEF \sim \triangle ABC$ (c.g.c)

$\rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{ABC}$

* Mà $\widehat{ATC} = \widehat{ABC}$, ta được:

$\widehat{AEF} = \widehat{ATC}$

* Trong $\triangle ACT$ vuông tại $C$, ta được:

$\widehat{ATC} + \widehat{TAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{AEF} + \widehat{TAC} = 90^\circ$

* Xét $\triangle AKE$, ta được:

$\widehat{AKE} = 180^\circ - (\widehat{KAE} + \widehat{AEF}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\rightarrow AT \perp EF$ (đpcm)

$b)$ 

* Xét $\triangle BFC$ và $\triangle BDA$ có:

+) $\widehat{B}$ chung

+) $\widehat{BFC} = \widehat{BDA} = 90^\circ$ (do $CF \perp AB$ và $AD \perp BC$)

$\Rightarrow \triangle BFC \sim \triangle BDA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BF}{BD} = \frac{BC}{BA} \Rightarrow \frac{BF}{BC} = \frac{BD}{BA}$

* Xét $\triangle DBF$ và $\triangle ABC$ có:

+) $\widehat{B}$ chung

+) $\frac{BF}{BC} = \frac{BD}{BA}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle DBF \sim \triangle ABC$ (c.g.c) $(1)$

$\Rightarrow \widehat{BFD} = \widehat{C}$ và $\frac{DB}{DF} = \frac{AB}{AC}$

* Xét $\triangle BCE$ vuông tại $E$, ta được:

$\widehat{CBE} = 90^\circ - \widehat{C} \Rightarrow \widehat{DBM} = 90^\circ - \widehat{C}$

* Ta có:

$\widehat{DFN} = \widehat{BFC} - \widehat{BFD} = 90^\circ - \widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{DBM} = \widehat{DFN}$

* Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACF$ có:

+) $\widehat{A}$ chung

+) $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ACF$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BE}{CF} = \frac{AB}{AC}$

* Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BE, CF$, ta được:

$\frac{BM}{FN} = \frac{\frac{1}{2}BE}{\frac{1}{2}CF} = \frac{BE}{CF} = \frac{AB}{AC}$

* Mà $\frac{DB}{DF} = \frac{AB}{AC}$ (cmt), ta được:

$\frac{BM}{FN} = \frac{DB}{DF} \Rightarrow \frac{DB}{DF} = \frac{BM}{FN}$

* Xét $\triangle DBM$ và $\triangle DFN$ có:

+) $\widehat{DBM} = \widehat{DFN}$ (cmt)

+) $\frac{DB}{DF} = \frac{BM}{FN}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle DBM \sim \triangle DFN$ (c.g.c)

$\Rightarrow \frac{DM}{DN} = \frac{DB}{DF} \Rightarrow \frac{DM}{DB} = \frac{DN}{DF}$ và $\widehat{BDM} = \widehat{FDN}$

* Ta có:

$\widehat{MDN} = \widehat{MDF} + \widehat{FDN} = \widehat{MDF} + \widehat{BDM} = \widehat{BDF}$

* Xét $\triangle DMN$ và $\triangle DBF$ có:

+) $\widehat{MDN} = \widehat{BDF}$ (cmt)

+) $\frac{DM}{DB} = \frac{DN}{DF}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle DMN \sim \triangle DBF$ (c.g.c) $(2)$

* Từ $(1)$ và $(2)$ $\rightarrow \triangle DMN \sim \triangle DBF \sim \triangle ABC$ (đpcm)

$c)$ 

* Vì $\triangle DMN \sim \triangle ABC$ và $AT \perp EF$ tại $K$, $AD \perp BC$ tại $D$

$\rightarrow$ $MN$ là đường trung trực của $DK$

$\rightarrow MK = MD$ và $NK = ND$ (đpcm)

* Xét $\triangle KMN$ và $\triangle DMN$ có:

+) $MN$ chung

+) $MK = MD$

+) $NK = ND$

$\rightarrow \triangle KMN = \triangle DMN$ (c.c.c)

$\rightarrow \triangle KMN \sim \triangle DMN$

* Mà $\triangle DMN \sim \triangle ABC$

$\rightarrow \triangle KMN \sim \triangle ABC$ (đpcm)

༺ $\color{#0066FF}{k}\color{#1A75FF}{i}\color{#3385FF}{l}\color{#4D94FF}{l}\color{#66A3FF}{u}\color{#00CC66}{a}\color{#00DD55}{r}\color{#00EE44}{2}\color{#00FF33}{0}\color{#00FF00}{5}$ ༻