Tư duy: Nếu `x` là nghiệm kéo theo `3x^3+x` cũng là nghiệm, kéo theo `3(3x^3+x)^3+3x^3+x` cũng là nghiệm...

Mà `3x^3+x=xunderbrace{(3x^2+1)}_{>\ 1,\ AA x\ ne\ 0}`

`=>` Đa thức có vô hạn nghiệm khác nhau (vô lí)

Do đó chỉ có khả năng: đa thức có nghiệm duy nhất `x=0`

Lời giải:

Sử dụng Nguyên lí cực hạn để lập luận

Giả sử `P(x)` có nghiệm thực

Đa thức chỉ có hữu hạn nghiệm, gọi `alpha` là nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn nhất

`=>P(alpha)=0=>P(3alpha^3+alpha)=0`

`=> 3alpha^3+alpha` cũng là một nghiệm của `P(x)`

Vì `alpha` là nghiệm có GTTĐ lớn nhất, ta phải có:

`|3alpha^3+alpha| <= |alpha|`

`=> |alpha|(3alpha^2+1) <= |alpha|`

Mà `3alpha^2+1 >= 1, AA alpha in RR`

Do đó, BĐT xảy ra `<=> alpha=0`

Tức là: Nếu `P(x)` có nghiệm thì chỉ có thể là `x=0`

Giả sử `x=0` là nghiệm, ta viết lại:

`P(x)=x^k Q(x)` (với `k >= 1,Q(0) != 0`)

`"PT"<=>x^k Q(x) (3x^2)^k Q(3x^2) = (3x^3 + x)^k Q(3x^3 + x)`

`<=> 3^k x^(3k) Q(x) Q(3x^2) = x^k (3x^2 + 1)^k Q(3x^3 + x)`

`<=> 3^k x^(2k) Q(x) Q(3x^2) = (3x^2 + 1)^k Q(3x^3 + x)`

Thay `x=0`, ta được: `Q(0)=0` (mâu thuẫn với ĐK `Q(0) != 0`)

`=>x=0` không thể là nghiệm

Vậy `P(x)` vô nghiệm