Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Phương trình đã cho có } \Delta = (-5)^2 - 4(1) = 21 > 0, \\
& \text{nên luôn có hai nghiệm phân biệt } x_1, x_2. \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét, ta có:} \\
& \begin{cases} 
x_1 + x_2 = 5 \\ 
x_1x_2 = 1 
\end{cases} \\
& \text{Vì } x_1, x_2 \text{ là nghiệm của phương trình nên:} \\
& x^2 - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 1 = 5x \\
& \text{Xét với nghiệm } x_1, \text{ bình phương hai vế ta được:} \\
& (x_1^2 + 1)^2 = (5x_1)^2 \\
& \Leftrightarrow x_1^4 + 2x_1^2 + 1 = 25x_1^2 \\
& \Leftrightarrow x_1^4 = 23x_1^2 - 1 \\
& \text{Từ đó suy ra:} \\
& \sqrt{23x_1^2 - 1} = \sqrt{x_1^4} = x_1^2 \quad (\text{do } x_1^2 > 0) \\
& \text{Xét với nghiệm } x_2, \text{ ta có:} \\
& 5x_2 = x_2^2 + 1 \Rightarrow 5x_2 + 1 = x_2^2 + 2 \\
& \text{Và biến đổi tử số của phân thức thứ hai:} \\
& 3x_2^2 + 7 = 3x_2^2 + 6 + 1 = 3(x_2^2 + 2) + 1 \\
& \text{Thay các kết quả trên vào biểu thức } P, \text{ ta được:} \\
& P = \dfrac{1}{2 + x_1^2} + \dfrac{3(x_2^2 + 2) + 1}{x_2^2 + 2} \\
& P = \dfrac{1}{x_1^2 + 2} + 3 + \dfrac{1}{x_2^2 + 2} \\
& P = 3 + \dfrac{x_1^2 + 2 + x_2^2 + 2}{(x_1^2 + 2)(x_2^2 + 2)} \\
& P = 3 + \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + 4}{x_1^2x_2^2 + 2(x_1^2 + x_2^2) + 4} \\
& \text{Ta tính riêng giá trị biểu thức: } x_1^2 + x_2^2 \\
& x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5^2 - 2(1) = 23 \\
& \text{Thay } x_1^2 + x_2^2 = 23 \text{ và } x_1x_2 = 1 \text{ vào } P: \\
& P = 3 + \dfrac{23 + 4}{1^2 + 2(23) + 4} \\
& P = 3 + \dfrac{27}{1 + 46 + 4} \\
& P = 3 + \dfrac{27}{51} = 3 + \dfrac{9}{17} \\
& P = \dfrac{60}{17}
\end{aligned}$