$a)$

* Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$, ta được:

$OA = OB = OC = \frac{BC}{2}$

$\rightarrow \triangle OAB$ cân tại $O$ $(DHNB)$

* Xét $\triangle PAO$ vuông tại $A$ và $\triangle PBO$ vuông tại $B$ có:

+) $PO$ chung

+) $OA = OB$ $(cmt)$

$\rightarrow \triangle PAO = \triangle PBO$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\rightarrow PA = PB$ ($2$ cạnh tương ứng)

* Vì $PA = PB$ và $OA = OB$ nên $P$ và $O$ $\in$ trung trực của $AB$

$\rightarrow OP \perp AB$ (đpcm)

* Gọi $K$ là giao của $AC$ và $PB$

* Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$

$\rightarrow BA \perp AC$ tại $A$

$\rightarrow \triangle KAB$ vuông tại $A$

* Vì $\triangle PAB$ cân tại $P$

$\rightarrow$ $\widehat{PAB} = \widehat{PBA} \quad (1)$

* Xét $\triangle KAB$ vuông tại $A$ có:

$\widehat{PAK} = 90^\circ - \widehat{PAB}$ $(2)$

$\widehat{PKA} = 90^\circ - \widehat{PBA}$ $(3)$

* Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ ta được:

$\widehat{PAK} = \widehat{PKA}$

$\rightarrow \triangle PAK$ cân tại $P \rightarrow PK = PA$

* Mà $PA = PB$ $(cmt)$ $\rightarrow$ $PK = PB$

* Vì $AH \perp BC$ và $KB \perp BC$, ta được:

$AH // KB \rightarrow EA // KP$ và $EH // BP$

* Xét $\triangle KPC$ có $EA // KP$:

$\frac{EA}{KP} = \frac{CE}{CP} \quad$ (hệ quả định lý Thales) $(4)$

* Xét $\triangle BPC$ có $EH // BP$:

$\frac{EH}{BP} = \frac{CE}{CP} \quad$ (hệ quả định lý Thales) $(5)$

* Từ $(4)$ và $(5)$, ta được:

$\frac{EA}{KP} = \frac{EH}{BP}$

mà $KP = BP$ $(cmt)$ $\rightarrow$ $EA = EH$

$\rightarrow$ $E$ là trung điểm của $AH$ (đpcm)

༺ $\color{#0066FF}{k}\color{#1A75FF}{i}\color{#3385FF}{l}\color{#4D94FF}{l}\color{#66A3FF}{u}\color{#00CC66}{a}\color{#00DD55}{r}\color{#00EE44}{2}\color{#00FF33}{0}\color{#00FF00}{5}$ ༻