`a)` Xét `Δ ADE` và `Δ ABD` có:

`hat{ ADE}  = hat{ABD}(` cùng phụ `hat{BAD}``)`, `hat{ AED} = hat{ ADB}`

`=> Δ ADE` $\backsim$ `Δ ABD(g-g)=> (AD)/(AE) = (AB)/(AD) =>AD^2 = AE.AB`

`b)` Gọi `H` là trung điểm `AD`

Khi đó ta có ` EH =AH = DH = HF`

`=> hat{ AEF} = hat{ AEH} + hat{ HEF }  = (180^@ - hat{EHA})/2 + (180^@ - hat{ EHF})/2`

`= (hat{ DHF})/2 = hat{ HDF} = hat{ ACB}(` cùng phụ `hat{ DAC})`

Chứng minh tương tự, ta có `hat{ AFE} = hat{ ADE}`     `(1)`

Xét `Δ AEF` và `Δ ACB` có:

` hat{AEF} = hat{ACB}, hat{BAC}` chung

`=> ΔAEF` $\backsim$ `ΔACB(g-g) => (AE)/(AF) = (AB)/(AC) => AE.AB=AC.AF`

Từ `(1)` suy ra `hat{ MAC} = hat{ BAD}(` cùng phụ `hat{ EFA} = hat{ ADE})`

`c)` Gọi `I` là trung điểm `AM` ta có:

` AI=PI= IM = IQ(` đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `)`

`=> hat{APQ} = hat{ API} + hat{ IPQ} = (180^@ - hat{ AIP})/2 + (180^@ - hat{ PIQ})/2`

`= (hat{ AIQ})/2 = hat{ IMQ}`

Lại có `hat{IMQ} = hat{ ABD}(` cùng phụ `hat{ BAD} = hat{MAC})`

`=> hat{APQ} = hat{ABC} => PQ║BC => PQ ⊥AD`