$1)$ Gọi số ngày nhóm học sinh dự định làm theo kế hoạch là $x$ (ngày, ĐK: $x > 1$)

Theo kế hoạch, mỗi ngày nhóm phải làm $15$ sản phẩm nên tổng số sản phẩm dự định làm là: $15x$ (sản phẩm)

Trên thực tế, thời gian nhóm học sinh hoàn thành công việc là: $x - 1$ (ngày)

Vì mỗi ngày trên thực tế nhóm làm được $20$ sản phẩm nên tổng số sản phẩm thực tế làm được là: $20(x - 1)$ (sản phẩm)

Vì thực tế nhóm đã làm thêm được $5$ sản phẩm nữa so với kế hoạch nên ta có phương trình:

$\Leftrightarrow 20(x - 1) - 15x = 5$

$\Leftrightarrow 20 \cdot x - 20 \cdot 1 - 15x = 5$

$\Leftrightarrow 20x - 20 - 15x = 5$

$\Leftrightarrow 5x = 5 + 20$

$\Leftrightarrow 5x = 25$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{25}{5}$

$\Leftrightarrow x = 5 \text{ (tmđk)}$

Theo kế hoạch, nhóm học sinh đó phải làm số sản phẩm là:

$15 \cdot 5 = 75$ (sản phẩm)

Vậy theo kế hoạch nhóm phải làm $75$ sản phẩm

$\ $

$2)$ Gọi giá tiền của chiếc ấm siêu tốc khi chưa có thuế VAT là $x$ (triệu đồng, ĐK: $0 < x < 1,2$)

Gọi giá tiền của chiếc áo len khi chưa có thuế VAT là $y$ (triệu đồng, ĐK: $0 < y < 1,2$)

Vì tổng giá của hai mặt hàng khi chưa có thuế VAT là $1,2$ triệu đồng nên ta có phương trình:

$x + y = 1,2 \quad (1)$

Giá tiền của chiếc ấm siêu tốc tính cả thuế VAT $10\%$ là: $x + 10\%x = 1,1x$ (triệu đồng)

Giá tiền của chiếc áo len tính cả thuế VAT $8\%$ là: $y + 8\%y = 1,08y$ (triệu đồng)

Vì tổng số tiền người đó phải trả khi thanh toán là $1,31$ triệu đồng nên ta có phương trình:

$1,1x + 1,08y = 1,31 \quad (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{aligned} x + y &= 1,2 \\ 1,1x + 1,08y &= 1,31 \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} 1,1x + 1,1y &= 1,32 \\ 1,1x + 1,08y &= 1,31 \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} (1,1x - 1,1x) + (1,1y - 1,08y) &= 1,32 - 1,31 \\ x + y &= 1,2 \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} 0,02y &= 0,01 \\ x + y &= 1,2 \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} y &= \dfrac{0,01}{0,02} \\ x + y &= 1,2 \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} y &= 0,5 \text{ (tmđk)} \\ x + 0,5 &= 1,2 \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} x &= 1,2 - 0,5 \\ y &= 0,5 \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} x &= 0,7 \text{ (tmđk)} \\ y &= 0,5 \end{aligned}\right.$

Đổi: $0,7 \text{ triệu đồng} = 700.000 \text{ đồng}; 0,5 \text{ triệu đồng} = 500.000 \text{ đồng}$

Vậy khi chưa có thuế VAT, giá của một chiếc ấm siêu tốc là $700.000$ đồng và giá của một chiếc áo len là $500.000$ đồng