Đáp án + Giải thích các bước giải:

`R` : bán kính đường tròn ngoại tiếp

`-` Theo định lý sin ta có:

`(BC)/(sinA)=(AB)/(sinC)=(AC)/(sinB)=2R`

`->{(BC=2RsinA),(AB=2RsinC),(AC=2RsinB):}`

`-` Khi đó BPT cần cm trở thành :

`sin``A/2<=(2RsinA)/(2RsinC+2RsinB)`

`<=>sin``A/2<=(sinA)/(sinC+sinB)`

`-sinA=2sin``A/2``cos``A/2` ( công thức nhân đôi )

`-sinB+sinC=2sin``(B+C)/2``cos``(B-C)/2` ( công thức tổng thành tích )

`-` Ta có : `A+B+C=180^o`

`=>(B+C)/2=90^o-(A)/2=>sin``(B+C)/2``=cos``A/2`

`-` Thay các giá trị vào ta được:

`VP=(2sin(A/2)cos(A/2))/(2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2))=sin(A/2)/cos((B-C)/2)`

`<=>(BC)/(AB+AC)=sin(A/2)/cos((B-C)/2)`

`=>sin``A/2``=(BC)/(AB+AC).cos``(B-C)/2(***)`

Mà `cos\alpha<=1->cos``(B-C)/2<=1`

`(***)<=>sin``A/2``=(BC)/(AB+AC).cos``(B-C)/2<=(BC)/(AB+AC).1`

`=>sin``A/2<=(BC)/(AB+AC)` ( đpcm )

`-` Dấu ''='' xảy ra `<=>cos``(B-C)/2=1`

`<=>(B-C)/2=0<=>B=C` ( `ΔABC` cân tại `A` )