Bài $4$:

$4)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 3} - \frac{4}{y + 1} = 5 \\ &\frac{3}{x - 3} + \frac{4}{y + 1} = -1 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq 3$ và $y \neq -1$

* Đặt $u = \frac{1}{x - 3}$ và $v = \frac{1}{y + 1}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &u - 4v = 5 \\ &3u + 4v = -1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &4u = 4 \\ &u - 4v = 5 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = 1 \\ &1 - 4v = 5 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = 1 \\ &-4v = 4 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = 1 \\ &v = -1 \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 3} = 1 \\ &\frac{1}{y + 1} = -1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x - 3 = 1 \\ &y + 1 = -1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = 4 \\ &y = -2 \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (4; -2)$

$5)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{2}{x - 2} + \frac{1}{y + 1} = 3 \\ &\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{y + 1} = 8 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq 2$ và $y \neq -1$

* Đặt $u = \frac{1}{x - 2}$ và $v = \frac{1}{y + 1}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &2u + v = 3 \\ &3u - 2v = 8 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &4u + 2v = 6 \\ &3u - 2v = 8 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &7u = 14 \\ &2u + v = 3 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = 2 \\ &2 \cdot 2 + v = 3 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = 2 \\ &v = -1 \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 2} = 2 \\ &\frac{1}{y + 1} = -1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x - 2 = \frac{1}{2} \\ &y + 1 = -1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = \frac{5}{2} \\ &y = -2 \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\frac{5}{2}; -2\right)$

$6)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y - 2} = 8 \\ &\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{y - 2} = 1 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq -1$ và $y \neq 2$

* Đặt $u = \frac{1}{x + 1}$ và $v = \frac{1}{y - 2}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &u + v = 8 \\ &2u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &3u + 3v = 24 \\ &2u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &5u = 25 \\ &u + v = 8 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = 5 \\ &5 + v = 8 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = 5 \\ &v = 3 \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x + 1} = 5 \\ &\frac{1}{y - 2} = 3 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x + 1 = \frac{1}{5} \\ &y - 2 = \frac{1}{3} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = -\frac{4}{5} \\ &y = \frac{7}{3} \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(-\frac{4}{5}; \frac{7}{3}\right)$

$7)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{y + 2} = 2 \\ &\frac{8}{x - 1} - \frac{3}{y + 2} = 1 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq 1$ và $y \neq -2$

* Đặt $u = \frac{1}{x - 1}$ và $v = \frac{1}{y + 2}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &2u + v = 2 \\ &8u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &6u + 3v = 6 \\ &8u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &14u = 7 \\ &2u + v = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{1}{2} \\ &2 \cdot \frac{1}{2} + v = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{1}{2} \\ &v = 1 \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{2} \\ &\frac{1}{y + 2} = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x - 1 = 2 \\ &y + 2 = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = 3 \\ &y = -1 \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; -1)$

$8)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{10}{x - 1} + \frac{1}{y + 2} = 1 \\ &\frac{25}{x - 1} + \frac{3}{y + 2} = 2 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq 1$ và $y \neq -2$

* Đặt $u = \frac{1}{x - 1}$ và $v = \frac{1}{y + 2}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &10u + v = 1 \\ &25u + 3v = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &30u + 3v = 3 \\ &25u + 3v = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &5u = 1 \\ &10u + v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{1}{5} \\ &10 \cdot \frac{1}{5} + v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{1}{5} \\ &v = -1 \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{5} \\ &\frac{1}{y + 2} = -1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x - 1 = 5 \\ &y + 2 = -1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = 6 \\ &y = -3 \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (6; -3)$

$9)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 5} + \frac{3}{y - 2} = 2 \\ &\frac{3}{x - 5} - \frac{5}{y - 2} = \frac{-3}{2} \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq 5$ và $y \neq 2$

* Đặt $u = \frac{1}{x - 5}$ và $v = \frac{1}{y - 2}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &u + 3v = 2 \\ &3u - 5v = -\frac{3}{2} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &3u + 9v = 6 \\ &3u - 5v = -\frac{3}{2} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &14v = \frac{15}{2} \\ &u + 3v = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &v = \frac{15}{28} \\ &u + 3 \cdot \frac{15}{28} = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{11}{28} \\ &v = \frac{15}{28} \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 5} = \frac{11}{28} \\ &\frac{1}{y - 2} = \frac{15}{28} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x - 5 = \frac{28}{11} \\ &y - 2 = \frac{28}{15} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = \frac{83}{11} \\ &y = \frac{58}{15} \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\frac{83}{11}; \frac{58}{15}\right)$.

Bài $5$:

$1)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{2}{x + y} + \frac{1}{x - y} = 1 \\ &\frac{10}{x + y} - \frac{3}{x - y} = 1 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq y$ và $x \neq -y$

* Đặt $u = \frac{1}{x + y}$ và $v = \frac{1}{x - y}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &2u + v = 1 \\ &10u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &6u + 3v = 3 \\ &10u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &16u = 4 \\ &2u + v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{1}{4} \\ &v = \frac{1}{2} \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x + y} = \frac{1}{4} \\ &\frac{1}{x - y} = \frac{1}{2} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x + y = 4 \\ &x - y = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &2x = 6 \\ &x - y = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = 3 \\ &y = 1 \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; 1)$

$2)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{2}{x + y} + \frac{1}{x - y} = 3 \\ &\frac{1}{x + y} - \frac{3}{x - y} = 1 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq y$ và $x \neq -y$

* Đặt $u = \frac{1}{x + y}$ và $v = \frac{1}{x - y}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &2u + v = 3 \\ &u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &6u + 3v = 9 \\ &u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &7u = 10 \\ &u - 3v = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{10}{7} \\ &v = \frac{1}{7} \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x + y} = \frac{10}{7} \\ &\frac{1}{x - y} = \frac{1}{7} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x + y = \frac{7}{10} \\ &x - y = 7 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &2x = \frac{77}{10} \\ &x - y = 7 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = \frac{77}{20} \\ &y = -\frac{63}{20} \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\frac{77}{20}; -\frac{63}{20}\right)$

$3)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} = \frac{5}{8} \\ &\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y} = \frac{-3}{8} \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq y$ và $x \neq -y$

* Đặt $u = \frac{1}{x + y}$ và $v = \frac{1}{x - y}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &u + v = \frac{5}{8} \\ &u - v = -\frac{3}{8} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &2u = \frac{2}{8} \\ &u + v = \frac{5}{8} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{1}{8} \\ &v = \frac{1}{2} \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x + y} = \frac{1}{8} \\ &\frac{1}{x - y} = \frac{1}{2} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x + y = 8 \\ &x - y = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &2x = 10 \\ &x - y = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = 5 \\ &y = 3 \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (5; 3)$

$4)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{2}{x - 1} + \frac{5}{2y + 3} = 6 \\ &\frac{6}{x - 1} - \frac{1}{2y + 3} = 2 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq 1$ và $y \neq -\frac{3}{2}$

* Đặt $u = \frac{1}{x - 1}$ và $v = \frac{1}{2y + 3}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &2u + 5v = 6 \\ &6u - v = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &2u + 5v = 6 \\ &30u - 5v = 10 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &32u = 16 \\ &6u - v = 2 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{1}{2} \\ &v = 1 \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{2} \\ &\frac{1}{2y + 3} = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x - 1 = 2 \\ &2y + 3 = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = 3 \\ &y = -1 \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; -1)$

$5)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x + 1} - \frac{3}{y + 2} = -2 \\ &\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} = 3 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq -1$ và $y \neq -2$

* Đặt $u = \frac{1}{x + 1}$ và $v = \frac{1}{y + 2}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &u - 3v = -2 \\ &2u + v = 3 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u - 3v = -2 \\ &6u + 3v = 9 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &7u = 7 \\ &2u + v = 3 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = 1 \\ &v = 1 \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x + 1} = 1 \\ &\frac{1}{y + 2} = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x + 1 = 1 \\ &y + 2 = 1 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = 0 \\ &y = -1 \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (0; -1)$

$6)$ $\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{y + 1} = 9 \\ &\frac{3}{x - 3} + \frac{1}{y + 1} = 6 \end{aligned}\right.$

* ĐKXĐ: $x \neq 3$ và $y \neq -1$

* Đặt $u = \frac{1}{x - 3}$ và $v = \frac{1}{y + 1}$, ta được:

$\left\{\begin{aligned} &u + 2v = 9 \\ &3u + v = 6 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u + 2v = 9 \\ &6u + 2v = 12 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &5u = 3 \\ &u + 2v = 9 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{3}{5} \\ &\frac{3}{5} + 2v = 9 \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{3}{5} \\ &2v = \frac{42}{5} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &u = \frac{3}{5} \\ &v = \frac{21}{5} \end{aligned}\right.$

* Trả ẩn:

$\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{x - 3} = \frac{3}{5} \\ &\frac{1}{y + 1} = \frac{21}{5} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x - 3 = \frac{5}{3} \\ &y + 1 = \frac{5}{21} \end{aligned}\right.$

$\left\{\begin{aligned} &x = \frac{14}{3} \\ &y = -\frac{16}{21} \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK)}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\frac{14}{3}; -\frac{16}{21}\right)$

$\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}$