Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
& \text{Bài 4:} \\
& \text{a) Ta có các bình phương độ dài ba cạnh:} \\
& AB^2 = (a\sqrt{5})^2 = 5a^2; \quad BC^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2; \quad AC^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2 \\
& \text{Nhận thấy } 5a^2 = 3a^2 + 2a^2 \text{, suy ra:} \\
& AB^2 = BC^2 + AC^2 \\
& \text{Theo định lý Pythagore đảo, ta kết luận:} \\
& \text{Tam giác } ABC \text{ vuông tại } C. \\
& \\
& \text{b) Các tỉ số lượng giác của góc } B \text{ (xét } \Delta ABC \text{ vuông tại } C\text{):} \\
& \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5} \\
& \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \\
& \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \\
& \cot B = \frac{BC}{AC} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \\
& \text{Vì góc } A \text{ và góc } B \text{ phụ nhau trong tam giác vuông, ta có:} \\
& \sin A = \cos B = \frac{\sqrt{15}}{5}; \quad \cos A = \sin B = \frac{\sqrt{10}}{5} \\
& \tan A = \cot B = \frac{\sqrt{6}}{2}; \quad \cot A = \tan B = \frac{\sqrt{6}}{3} \\
& \\
& \text{Bài 5:} \\
& \text{Xét tam giác } ABC \text{ vuông tại } A \text{, áp dụng tỉ số lượng giác:} \\
& \cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{8} \\
& \text{Thay số đo } AB = 5 \text{ cm, ta được:} \\
& \frac{5}{AC} = \frac{5}{8} \Rightarrow AC = 8 \text{ (cm)} \\
& \text{Áp dụng định lý Pythagore cho } \Delta ABC: \\
& BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 \\
& \Rightarrow BC = \sqrt{89} \text{ (cm)} \\
& \\
& \text{Bài 6:} \\
& \text{Xét tam giác } ABC \text{ vuông tại } A \text{, ta có:} \\
& \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{12} \Rightarrow \frac{AC}{6} = \frac{5}{12} \\
& \text{Từ đó tính được cạnh } AC: \\
& AC = \frac{6 \cdot 5}{12} = 2,5 \text{ (cm)} \\
& \text{Áp dụng định lý Pythagore tính cạnh huyền } BC: \\
& BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 2,5^2} = \sqrt{42,25} = 6,5 \text{ (cm)} \\
& \text{Áp dụng hệ thức lượng, tính đường cao } AH: \\
& AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow AH = \frac{6 \cdot 2,5}{6,5} = \frac{30}{13} \text{ (cm)} \\
& \text{Trung tuyến } BM \text{ ứng với cạnh } AC \text{ nên } M \text{ là trung điểm } AC: \\
& AM = \frac{AC}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25 = \frac{5}{4} \text{ (cm)} \\
& \text{Áp dụng định lý Pythagore cho } \Delta ABM \text{ vuông tại } A: \\
& BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{601}}{4} \text{ (cm)} \\
& \\
& \text{Bài 7:} \\
& \text{a) Xét tam giác } ABC \text{ vuông tại } A \text{, ta có:} \\
& \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{2} \Rightarrow AC = \frac{5}{2}AB \\
& \text{Áp dụng định lý Pythagore cho } \Delta ABC: \\
& AB^2 + AC^2 = BC^2 \\
& \text{Thay } AC = \frac{5}{2}AB \text{ và } BC = 2\sqrt{29} \text{ vào:} \\
& AB^2 + \left(\frac{5}{2}AB\right)^2 = (2\sqrt{29})^2 \\
& \text{Giải phương trình tìm } AB: \\
& AB^2 + \frac{25}{4}AB^2 = 116 \Rightarrow \frac{29}{4}AB^2 = 116 \\
& \Rightarrow AB^2 = 116 \cdot \frac{4}{29} = 16 \Rightarrow AB = 4 \text{ (cm)} \\
& \text{Từ đó, độ dài cạnh } AC \text{ là:} \\
& AC = \frac{5}{2} \cdot 4 = 10 \text{ (cm)}
\end{align*}$