Đặt `S = sqrt(3 - 4x) + sqrt(4x + 1).` Với `-1/4 <= x <= 3/4,` ta có `S > 0`

Bình phương hai vế của `S` ta có`:`

`S^2 = (sqrt(3 - 4x) + sqrt(4x + 1))^2`

`S^2 = (sqrt(3 - 4x))^2 + 2 * sqrt(3 - 4x) * sqrt(4x + 1) + (sqrt(4x + 1))^2`

`S^2 = (3 - 4x) + 2 * sqrt((3 - 4x) * (4x + 1)) + (4x + 1)`

`S^2 = (3 + 1) + (-4x + 4x) + 2 * sqrt((3 - 4x) * (4x + 1))`

`S^2 = 4 + 2 * sqrt((3 - 4x) * (4x + 1))`

Vì `-1/4 <= x <= 3/4` nên:

`3 - 4x >= 0` và `4x + 1 >= 0`

`=> (3 - 4x) * (4x + 1) >= 0`

Do đó:

`sqrt((3 - 4x) * (4x + 1)) >= 0`

`2 * sqrt((3 - 4x) * (4x + 1)) >= 0`

`4 + 2 * sqrt((3 - 4x) * (4x + 1)) >= 4`

`=> S^2 >= 4`

Vì `S > 0` nên: `S >= 2 `

`=> sqrt(3 - 4x) + sqrt(4x + 1) >= 2 (đpcm)`

Dấu `"="` xảy ra khi và chỉ khi`:`

`(3 - 4x)(4x + 1) = 0`

`<=> 3 - 4x = 0` hoặc `4x + 1 = 0`

`<=> x = 3/4` hoặc `x = -1/4`