* $\frac{x^2 + py^2}{xy}$ $(*)$

* Đặt $\frac{x^2 + py^2}{xy} = k$ ($k \in \mathbb{N}^*$). Ta được:

$x^2 + py^2 = kxy$ $(1)$

* Gọi $d = \text{ƯCLN}(x; y)$. Đặt $x = da$, $y = db$ với $a, b \in \mathbb{N}^*$ và $\text{ƯCLN}(a; b) = 1$. Thay vào $(1)$ ta được:

$(da)^2 + p(db)^2 = k(da)(db)$

$d^2a^2 + pd^2b^2 = kd^2ab$

$a^2 + pb^2 = kab$

* Từ $a^2 + pb^2 = kab \Rightarrow pb^2 = kab - a^2 = a(kb - a) \Rightarrow a  \vdots  pb^2$

* Vì $\text{ƯCLN}(a; b) = 1 \Rightarrow \text{ƯCLN}(a; b^2) = 1 \Rightarrow a$ $\vdots$ $p$

* Mà $p$ là số nguyên tố nên $a = 1$ hoặc $a = p$

* Từ $a^2 + pb^2 = kab \Rightarrow a^2 = kab - pb^2 = b(ka - pb) \Rightarrow b \vdots a^2$

* Vì $\text{ƯCLN}(a; b) = 1 \Rightarrow \text{ƯCLN}(a^2; b) = 1 \Rightarrow b$ $\vdots$ $1 \Rightarrow b = 1$

* Với $b = 1$:

+) Nếu $a = 1$, thay vào $(*)$ ta được: $1^2 + p \cdot 1^2 = k \cdot 1 \cdot 1 \Rightarrow k = p + 1$

+) Nếu $a = p$, thay vào $(*)$ ta được: $p^2 + p \cdot 1^2 = k \cdot p \cdot 1 \Rightarrow p^2 + p = kp \Rightarrow p(p + 1) = kp \Rightarrow k = p + 1$

Vậy $\frac{x^2 + py^2}{xy} = p + 1$ (đpcm)

$\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}$