\begin{array}{c|c|c}\color{gainsboro}{𝕭}\color{lightgrey}{𝖆}\color{silver}{𝖔}\color{darkgray}{𝕹}\color{gray}{𝖌}\color{dimgray}{𝖔}\color{black}{𝖈}\end{array}

Từ giả thiết: `(x-z)*(y-z)=z^2`

`=>xy-xz-yz+z^2=z^2`

`=>xy=z(x+y)` `(1)`

Gọi `d=ƯCLN(x,x+y).`

`=>d` là ước của `x` và `d` là ước của `(x+y)-x=y.`

Do `x,y=1` nên `d=1.`

`=>ƯCLN(x,x+y)=1.`

Từ `(1);` ta có: `xy\vdots x+y.`

Mà `ƯCLN(x,x+y)=1.`

`=>y\vdots x+y` `(2).`

Từ `xy=z*(x+y)` và `ƯCLN(x,y)=1,ƯCLN(x,z)=1,ƯCLN(y,z)=1,` ta suy ra `x,y` và `x+y` phải là các số chính phương.

Đặt `x=a^2,y=b^2,x+y=c^2` `(`với `a,b,c\in NN^**).`

Thay vào `(1);` ta được:

`a^2*b^2=z*c^2`

`=>z=((ab)/c)^2`

Do `ƯCLN(x,x+y)=1.`

`=>ƯCLN(a^2,c^2)=1`

`=>ƯCLN(a,c)=1.`

Tương tự: `ƯCLN(b,c)=1.`

Do đó để `z` là số nguyên thì `c` là ước của `ab,` dẫn tới `c=1.`

`=>z` cũng là một số chính phương, đặt `z=k^2.`

Khi đó: `2026^2*x*y*z=2026^2*a^2*b^2*k^2=(2026*a*b*k)^2`

Vì `(2026*a*b*k)^2` có dạng `M^2` nên `2026^2*x*y*z` là `1` số chính phương `(đpcm).`