$a)$ 

* Xét $\triangle BMC$ có hai đường cao là $BK$ và $CI$ vì $BK \perp AC$ tại $K$ (gt) và $CI \perp BM$ tại $I$ (gt)

* Vì $BK$ cắt $CI$ tại $E$ nên $E$ là trực tâm của $\triangle BMC$.

$\Rightarrow ME \perp BC$

* Mà $AB \perp BC$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) $\Rightarrow ME // AB$ (từ vuông góc đến song song)

* Xét $\triangle ABK$ có $M$ là trung điểm của $AK$ và $ME // AB$:

$\Rightarrow EM$ là đường trung bình (ĐN)

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $BK$

$\Rightarrow EB = EK$ (đpcm)

$b)$ 

* Vì $EM$ là đường trung bình của $\triangle ABK$ (cmt)

$\Rightarrow EM // AB$ và $EM = \frac{1}{2}AB$

* Mà $AB // CD$ và $AB = CD$ nên $EM // CD$ và $EM = \frac{1}{2}CD$

* Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $NC = \frac{1}{2}CD$

$\Rightarrow EM // NC$ và $EM = NC$.

Vậy tứ giác $MNCE$ là hình bình hành (đpcm)

$c)$ 

* Vì $MNCE$ là hình bình hành (cmt) nên $MN // EC$.

* Mà $E$ là trực tâm của $\triangle BMC$ (cmt - $a$) $\Rightarrow EC \perp BM$ tại $I$

$\Rightarrow MN \perp BM$ (đpcm)

$\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}$