Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
& \text{Ta có:} \\
& \begin{cases} 
xy^2 - 3x^3y - 4yx^2 - y + 3x^2 = 0 \quad (1) \\ 
3x^2y - y^2 + 3xy + 1 = 0 \quad (2) 
\end{cases} \\
& \text{Nhân hai vế của phương trình (2) với } x \text{, ta được:} \\
& 3x^3y - xy^2 + 3x^2y + x = 0 \quad (3) \\
& \text{Cộng vế theo vế phương trình (1) và (3), ta thu được:} \\
& (xy^2 - 3x^3y - 4x^2y - y + 3x^2) + (3x^3y - xy^2 + 3x^2y + x) = 0 \\
& \Leftrightarrow -x^2y - y + 3x^2 + x = 0 \\
& \Leftrightarrow y(x^2 + 1) = 3x^2 + x \\
& \text{Do } x^2 + 1 > 0 \text{ với mọi } x \text{, ta rút } y \text{ theo } x\text{:} \\
& y = \frac{3x^2 + x}{x^2 + 1} \\
& \text{Thay } y \text{ vào phương trình (2), ta có:} \\
& y(3x^2 + 3x - y) + 1 = 0 \\
& \Leftrightarrow \frac{3x^2 + x}{x^2 + 1} \left( 3x^2 + 3x - \frac{3x^2 + x}{x^2 + 1} \right) + 1 = 0 \\
& \Leftrightarrow \frac{3x^2 + x}{x^2 + 1} \cdot \frac{3x^4 + 3x^3 + 2x}{x^2 + 1} + 1 = 0 \\
& \Leftrightarrow (3x^2 + x)(3x^4 + 3x^3 + 2x) + (x^2 + 1)^2 = 0 \\
& \Leftrightarrow 9x^6 + 12x^5 + 4x^4 + 6x^3 + 4x^2 + 1 = 0 \\
& \Leftrightarrow(3x^3 + 2x^2 + 1)^2 = 0 \\

&\Leftrightarrow 3x^3 + 2x^2 + 1 = 0 \\
& \Leftrightarrow (x + 1)(3x^2 - x + 1) = 0 \\
& \text{Vì } 3x^2 - x + 1 = 3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{11}{12} > 0 \text{, ta có } x = -1. \\
& \text{Với } x = -1 \Rightarrow y = \frac{3(-1)^2 + (-1)}{(-1)^2 + 1} = 1. \\
& \text{Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất } (x; y) = (-1; 1). \\
& \\
& \text{2.Ta có:} \\
& \begin{cases} 
\sqrt[3]{1+x} + \sqrt{1-y} = 2 \quad (1) \\ 
x^2 - y^4 + 9y = x(9 + y - y^3) \quad (2) 
\end{cases} \\
& \text{Điều kiện xác định: } 1 - y \ge 0 \Leftrightarrow y \le 1. \\
& \text{Biến đổi phương trình (2):} \\
& x^2 - xy - 9x + 9y + xy^3 - y^4 = 0 \\
& \Leftrightarrow x(x - y) - 9(x - y) + y^3(x - y) = 0 \\
& \Leftrightarrow (x - y)(x - 9 + y^3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = y \\ & x = 9 - y^3 \end{aligned} \right. \\
& \text{Trường hợp 1: } x = 9 - y^3. \text{ Thay vào (1) ta được:} \\
& \sqrt[3]{10 - y^3} + \sqrt{1 - y} = 2 \\
& \text{Do } y \le 1 \Rightarrow 10 - y^3 \ge 9 \Rightarrow \sqrt[3]{10 - y^3} \ge \sqrt[3]{9} > 2. \\
& \text{Hơn nữa } \sqrt{1 - y} \ge 0 \text{ nên } \sqrt[3]{10 - y^3} + \sqrt{1 - y} > 2. \\
& \text{Do đó phương trình này vô nghiệm.} \\
& \text{Trường hợp 2: } x = y. \text{ Thay vào (1) ta được:} \\
& \sqrt[3]{1+x} + \sqrt{1-x} = 2 \quad (x \le 1) \\
& \text{Đặt } u = \sqrt[3]{1+x} \text{ và } v = \sqrt{1-x} \text{ với } v \ge 0. \text{ Ta có hệ mới:} \\
& \begin{cases} u + v = 2 \\ u^3 + v^2 = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = 2 - u \quad (\text{điều kiện } u \le 2) \\ u^3 + (2 - u)^2 = 2 \end{cases} \\
& \Leftrightarrow u^3 + u^2 - 4u + 2 = 0 \\
& \Leftrightarrow (u - 1)(u^2 + 2u - 2) = 0 \\
& \Leftrightarrow u = 1 \text{ hoặc } u = -1 \pm \sqrt{3} \text{ (các nghiệm đều thỏa mãn } u \le 2\text{)}. \\
& \text{Với } u = 1 \Rightarrow \sqrt[3]{1+x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0. \\
& \text{Với } u = -1 + \sqrt{3} \Rightarrow 1+x = (-1+\sqrt{3})^3 = 6\sqrt{3} - 10 \\
& \Leftrightarrow x = 6\sqrt{3} - 11 \Rightarrow y = 6\sqrt{3} - 11. \\
& \text{Với } u = -1 - \sqrt{3} \Rightarrow 1+x = (-1-\sqrt{3})^3 = -6\sqrt{3} - 10 \\
& \Leftrightarrow x = -6\sqrt{3} - 11 \Rightarrow y = -6\sqrt{3} - 11. \\
& \text{Vậy hệ đã cho có 3 cặp nghiệm } (x; y) \text{ là:} \\
& (0; 0), (6\sqrt{3}-11; 6\sqrt{3}-11), (-6\sqrt{3}-11; -6\sqrt{3}-11).
\end{align*}$