Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
&\text{Ta có: } \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{8}{9}.\\
&\text{Tính } \sin 2a \text{ và } \cos 2a:\\
&\sin 2a = 2\sin a \cos a \Rightarrow \sin^2 2a = 4\sin^2 a \cos^2 a = 4 \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{32}{81}.\\
&\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}.\\
&\text{Tính } \cos 4a:\\
&\cos 4a = 2\cos^2 2a - 1 = 2 \cdot \left(\dfrac{7}{9}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \dfrac{49}{81} - 1 = \dfrac{98}{81} - 1 = \dfrac{17}{81}.\\
&\text{Tính } \sin 4a:\\
&\text{Ta có } \sin^2 4a = 1 - \cos^2 4a = 1 - \left(\dfrac{17}{81}\right)^2 = 1 - \dfrac{289}{6561} = \dfrac{6272}{6561}.\\
&\Rightarrow \sin 4a = \pm \dfrac{\sqrt{6272}}{81} = \pm \dfrac{56\sqrt{2}}{81}.\\
&\text{Do } \sin a = \dfrac{1}{3} > 0 \text{ nên } a \text{ có thể thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ II,}\\
&\text{dẫn đến } \sin 4a \text{ nhận cả hai giá trị âm và dương tương ứng.}\\
&\text{Tính } \tan 4a:\\
&\tan 4a = \dfrac{\sin 4a}{\cos 4a} = \dfrac{\pm \dfrac{56\sqrt{2}}{81}}{\dfrac{17}{81}} = \pm \dfrac{56\sqrt{2}}{17}.\\
&\text{Kết luận: } \cos 4a = \dfrac{17}{81}; \ \sin 4a = \pm \dfrac{56\sqrt{2}}{81}; \ \tan 4a = \pm \dfrac{56\sqrt{2}}{17}.
\end{align*}$