Đặt `a=x - y;b=y - z;c=z - x => a+b+c=0`

Khi đó, ta có hằng đẳng thức `a^3+b^3+c^3=3abc`

Kết hợp `abc=x+y+z`, ta cần chứng minh `3abc vdots 81`, hay:

`abc vdots 27`

Theo nguyên lí Dirichlet, trong `3` số `x, y, z in ZZ` luôn có ít nhất `2` số cùng số dư khi chia `3`

Giả sử hai số đó là `x` và `y`

`=> a=x - y vdots 3`

`=> abc vdots3`

`=> x+y+z vdots 3` (do `abc=x+y+z`)

` => x+(x - a)+(x+c)=3x - a+cvdots 3`

Vì `3x vdots 3; a vdots 3=> c vdots 3`

Có `a+b+c=0`, mà `a;c  vdots 3=> b vdots 3`

`=>` Cả 3 số `a, b, c` đều chia hết cho `3`

`=> abc vdots 3*3*3=27`

(ĐPCM)