Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
&\text{Đặt } a = x - y, \ b = y - z, \ c = z - x \Rightarrow a, b, c \in \mathbb{Z}.\\
&\text{Ta có: } a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0.\\
&\text{Áp dụng hằng đẳng thức: Khi } a + b + c = 0 \text{ thì } a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.\\
&\text{Do đó: } A = 3abc = 3(x - y)(y - z)(z - x) = 3(x + y + z).\\
&\text{Để chứng minh } A \ \vdots \ 81, \text{ ta cần chứng minh } 3abc \ \vdots \ 81 \Leftrightarrow abc \ \vdots \ 27.\\
&\text{Mà trong ba số } a, b, c \text{ có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 3 (nguyên lý Dirichlet).}\\
&\text{Giả sử } a \equiv b \pmod 3 \Rightarrow a - b \ \vdots \ 3 \Rightarrow (x - y) - (y - z) \ \vdots \ 3 \Leftrightarrow x - 2y + z \ \vdots \ 3.\\
&\text{Mặt khác, từ giả thiết } a + b + c = 0 \Rightarrow c = -(a + b) \equiv -2a \pmod 3.\\
&\text{Do đó: } abc = ab[-(a+b)] = -ab(a+b).\\
&\text{Xét các trường hợp số dư của } a \text{ và } b \text{ khi chia cho 3:}\\
&\text{Trường hợp 1: Nếu } a \equiv 0 \pmod 3 \text{ và } b \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow c = -(a+b) \equiv 0 \pmod 3.\\
&\text{Khi đó cả } a, b, c \text{ đều chia hết cho 3 } \Rightarrow abc \ \vdots \ 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \Rightarrow A = 3abc \ \vdots \ 81.\\
&\text{Trường hợp 2: Nếu } a \equiv b \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow a + b \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow c = -(a+b) \equiv -2 \equiv 1 \pmod 3.\\
&\text{Suy ra } a \equiv b \equiv c \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow x - y \equiv y - z \equiv z - x \equiv 1 \pmod 3.\\
&\text{Ta có: } x + y + z = abc \equiv 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \pmod 3.\\
&\text{Lại có: } x - y \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow x \equiv y + 1 \pmod 3; \ y - z \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow z \equiv y - 1 \pmod 3.\\
&\text{Suy ra: } x + y + z \equiv (y + 1) + y + (y - 1) = 3y \equiv 0 \pmod 3 \text{ (mâu thuẫn với } x + y + z \equiv 1 \pmod 3).\\
&\text{Trường hợp 3: Tương tự nếu } a \equiv b \equiv c \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow abc \equiv 8 \equiv 2 \pmod 3.\\
&\text{Khi đó } x + y + z \equiv 2 \pmod 3. \text{ Mặt khác } x + y + z \equiv 3y \equiv 0 \pmod 3 \text{ (mâu thuẫn).}\\
&\text{Vậy } a, b, c \text{ đều chia hết cho 3.}\\
&\text{Suy ra } abc \ \vdots \ 27 \Rightarrow A = 3abc \ \vdots \ 81 \text{ (đpcm)}.
\end{align*}$