Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
& \text{Tập xác định của hàm số là:} \\
& D = [0; 3] \\
& \text{Đạo hàm của hàm số trên khoảng } (0; 3) \text{ là:} \\
& y' = \frac{(3x - x^2)'}{2\sqrt{3x - x^2}} = \frac{3 - 2x}{2\sqrt{3x - x^2}} \\
& \text{Xét phương trình } y' = 0 \text{ ta được:} \\
& 3 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \in (0; 3) \\
& \text{Ta có bảng biến thiên của hàm số:} \\
& \begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & 0 & & & \frac{3}{2} & & & 3 \\
\hline
y' & || & & + & 0 & - & & || \\
\hline
& & & & \frac{3}{2} & & & \\
y & & & \nearrow & & \searrow & & \\
& 0 & & & & & & 0 \\
\hline
\end{array} \\
& \text{a) Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng } \left(0; \frac{3}{2}\right). \\
& \text{Kết luận a): Đúng.} \\
& \text{b) Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại } x = \frac{3}{2} \text{ (không phải cực tiểu).} \\
& \text{Kết luận b): Sai.} \\
& \text{c) Giá trị cực đại của hàm số là:} \\
& y_{CĐ} = y\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \\
& \text{Kết luận c): Đúng.} \\
& \text{d) Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:} \\
& M\left(\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right) \\
& \text{Gọi } d \text{ cắt hai tia } Ox, Oy \text{ lần lượt tại hai điểm:} \\
& A(a; 0) \text{ và } B(0; b) \quad \text{với } a > 0, b > 0 \\
& \text{Phương trình đường thẳng } d \text{ theo đoạn chắn có dạng:} \\
& \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \\
& \text{Do đường thẳng } d \text{ đi qua điểm } M \text{ nên ta có:} \\
& \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} = 1 \\
& \text{Diện tích tam giác vuông } OAB \text{ được tính bằng công thức:} \\
& S_{OAB} = \frac{1}{2}ab \\
& \text{Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có:} \\
& 1 = \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} \ge 2\sqrt{\frac{3}{2a} \cdot \frac{3}{2b}} = \frac{3}{\sqrt{ab}} \\
& \text{Bình phương hai vế và chuyển vế, ta được:} \\
& ab \ge 9 \Rightarrow S_{OAB} = \frac{1}{2}ab \ge \frac{9}{2} \\
& \text{Diện tích } S_{OAB} \text{ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:} \\
& \frac{3}{2a} = \frac{3}{2b} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 3, b = 3 \\
& \text{Khi đó, phương trình đường thẳng } d \text{ trở thành:} \\
& \frac{x}{3} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow y = -x + 3 \\
& \text{Đồng nhất hệ số với dạng } y = mx + n \text{, ta suy ra:} \\
& m = -1, n = 3 \\
& \text{Xét giá trị của biểu thức } 3m - 2n \text{, ta được:} \\
& 3m - 2n = 3(-1) - 2(3) = -9 \\
& \text{Vì } -9 < 0 \text{ nên } 3m - 2n \text{ là một số âm.} \\
& \text{Kết luận d): Đúng.}
\end{align*}$