$a)$ 

* Vì $ABCD$ là hình chữ nhật (gt) nên $AB // CD$ (t/c)

$\Rightarrow \widehat{ABH} = \widehat{BDC}$ ($2$ góc so le trong)

* Xét $\Delta AHB$ và $\Delta BCD$ có:

+) $\widehat{AHB} = \widehat{BCD} = 90^\circ$ (do $AH \perp BD$ và $ABCD$ là hình chữ nhật)

+) $\widehat{ABH} = \widehat{BDC}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta BCD$ (g.g) (đpcm)

$b)$ 

* Xét $\Delta ADH$ và $\Delta BDA$ có:

+) $\widehat{AHD} = \widehat{BAD} = 90^\circ$

+) $\widehat{ADB}$ chung

$\Rightarrow \Delta ADH \sim \Delta BDA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AD}{BD} = \frac{DH}{AD}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AD^2 = DH \cdot DB$ (đpcm) $(1)$

$c)$ 

* Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có:

$\Rightarrow BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ (Đlý Pythagore)

$\Rightarrow BD = 5\text{ cm}$

* Thay $AD = 3\text{ cm}$ và $BD = 5\text{ cm}$ vào $(1)$ ta có:

$\Rightarrow 3^2 = DH \cdot 5 \Rightarrow DH = \frac{9}{5} = 1,8\text{ cm}$

* Xét $\Delta ADH$ vuông tại $H$ có:

$\Rightarrow AH^2 = AD^2 - DH^2 = 3^2 - 1,8^2 = 5,76$ (Đlý Pythagore)

$\Rightarrow AH = 2,4\text{ cm}$

Vậy $DH = 1,8\text{ cm}$ và $AH = 2,4\text{ cm}$

$\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}$