* Xét $\Delta BHD$ vuông tại $D$ và $\Delta ACD$ vuông tại $D$ có:

+) $\widehat{HBD} = \widehat{CAD}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

+) $\widehat{BDH} = \widehat{ADC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta BHD \sim \Delta ACD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{HD}{CD} = \frac{BD}{AD}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow BD \cdot CD = AD \cdot HD$ (t/c tỉ lệ thức)

* Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$, ta có tỉ số lượng giác:

$\tan B = \frac{AD}{BD}$

* Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$, ta có tỉ số lượng giác:

$\tan C = \frac{AD}{CD}$

$\Rightarrow \tan B \cdot \tan C = \frac{AD}{BD} \cdot \frac{AD}{CD} = \frac{AD^2}{BD \cdot CD}$ $(1)$

* Thay $BD \cdot CD = AD \cdot HD$ vào $(1)$:

$\tan B \cdot \tan C = \frac{AD^2}{AD \cdot HD} = \frac{AD}{HD}$ $(2)$

* Vì $HD : HA = 1 : 2 \Rightarrow HA = 2HD$

$\Rightarrow AD = AH + HD = 2HD + HD = 3HD$

* Thay $AD = 3HD$ vào $(2)$:

$\tan B \cdot \tan C = \frac{3HD}{HD} = 3$

Vậy $\tan B \cdot \tan C = 3$.

$\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}$