$a)$ Rút gọn $P$

$P = \left( \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{3x + 3}{x - 9} \right) : \left( \dfrac{2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1 \right)$ với $x \ge 0$ và $x \ne 9$

$P = \dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) - (3x + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} : \dfrac{2\sqrt{x} - 2 - (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 3}$

$P = \dfrac{2x - 6\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} - 3x - 3}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} : \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$

$P = \dfrac{-3\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$

$P = \dfrac{-3(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$

$P = \dfrac{-3}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy với $x \ge 0, x \ne 9$ thì $P = \dfrac{-3}{\sqrt{x} + 3}$

$b)$ Tìm các giá trị của $x$ để $P < -\dfrac{1}{3}$

Ta có:

$P < -\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{-3}{\sqrt{x} + 3} < -\dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sqrt{x} + 3} > \dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + 3 < 9$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} < 6 \Leftrightarrow x < 36$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0, x \ne 9$), ta được:

$0 \le x < 36$ và $x \ne 9$

$c)$ Tìm các giá trị của $x$ để $P$ có giá trị nhỏ nhất

Xét: $P = \dfrac{-3}{\sqrt{x} + 3}$

Để $P$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\dfrac{3}{\sqrt{x} + 3}$ phải đạt giá trị lớn nhất

$\dfrac{3}{\sqrt{x} + 3}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi mẫu số $\sqrt{x} + 3$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Với điều kiện $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0$, do đó:

$\sqrt{x} + 3 \ge 3$

Mẫu số nhỏ nhất bằng $3$ khi $x = 0$.

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của $P$ là:

$\text{min } P = \dfrac{-3}{0 + 3} = -1$

Dấu "$=$" xảy ra khi $x = 0$ ($TMĐK$)

$\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}$