$a)$

* Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có:

+) $\widehat{BAC} = \widehat{AHC} = 90^\circ$ (gt)

+) $\widehat{ACB}$ chung

$\Rightarrow$ $\Delta ABC \sim \Delta HAC$ (g.g)

$b)$

* Xét $\Delta CHI$ và $\Delta CKB$ có:

+) $\widehat{CHI} = \widehat{CKB} = 90^\circ$ (gt)

+) $\widehat{HCI}$ chung

$\Rightarrow$ $\Delta CHI \sim \Delta CKB$ (g.g)

$\Rightarrow$ $\dfrac{CH}{CK} = \dfrac{CI}{CB}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow$ $CH \cdot CB = CI \cdot CK$ (đpcm)

$c)$

* Vì $DH \perp BC$ (do $HA \perp BC$, D $\in$ HA) $\Rightarrow$ DH là đường cao của $\Delta BDC$.

* Vì $CK \perp BD$ (do $CI \perp BK$) $\Rightarrow$ CK là đường cao của $\Delta BDC$.

* Mà $DH$ cắt $CK$ tại $I$ $\Rightarrow$ $I$ là trực tâm của $\Delta BDC$ $\Rightarrow$ $BI \perp DC$.

* Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DC$, khi đó $BM \perp CD$ nên $\widehat{BMC} = 90^\circ$

* Xét $\Delta CMI$ và $\Delta CDK$, ta có:

+) $\widehat{CMI} = \widehat{CKD} = 90^\circ$ (cmt)

+) $\widehat{DCK}$ chung

$\Rightarrow$ $\Delta CMI \sim \Delta CDK$ (g.g)

$\Rightarrow$ $\dfrac{CM}{CK} = \dfrac{CI}{CD}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow$ $CD \cdot CM = CI \cdot CK$ (t/c tỉ lệ thức)

mà $CH \cdot CB = CI \cdot CK$ (CMb)

$\Rightarrow$ $CH \cdot CB = CD \cdot CM$ $(1)$

* Xét $\Delta MDB$ và $\Delta KDC$, ta có:

+) $\widehat{DMB} = \widehat{DKC} = 90^\circ$ (cmt)

+) $\widehat{BDC}$ chung

$\Rightarrow$ $\Delta MDB \sim \Delta KDC$ (g.g)

$\Rightarrow$ $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{DM}{DK}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow$ $DK \cdot DB = DM \cdot DC$ (t/c tỉ lệ thức) $(2)$ 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:

$CH \cdot CB + DK \cdot DB = CD \cdot CM + DM.DC = DC (MD + MC) = DC^2$ (đpcm)

$\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}$