`P(t) = a / (b + e^(-0,75t))`

Đạo hàm là hàm tốc độ tức thời 

`=>` Hàm tốc độ tăng trưởng: `P^'(t) = (0,75ae^(-0,75t)) / (b + e^(-0,75t))^2`

Tại `t = 0`, quần thể có `20` tb và tốc độ sinh trưởng là `10` tb/giờ

`=>{(P(0) = 20), (P'(0) = 10):}`

$\begin{aligned} &\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{a}{b + 1} = 20 \\ \dfrac{0,75a}{(b + 1)^2} = 10 \end{cases} \\ &\Rightarrow \begin{cases} a = 20(b + 1) \\ \dfrac{0,75 \cdot 20(b + 1)}{(b + 1)^2} = 10 \end{cases} \\ &\Rightarrow \begin{cases} a = 30 \\ \dfrac{15}{b + 1} = 10 \Rightarrow b = 0,5 \end{cases} \\ &\Rightarrow \begin{cases} P(t) = \dfrac{30}{0,5 + e^{-0,75t}} \\ P'(t) = \dfrac{22,5e^{-0,75t}}{(0,5 + e^{-0,75t})^2} \end{cases} \end{aligned}$

Để tìm `P^'(t)_max`, có thể dùng BĐT, giải chay hay bấm máy đều được.

$\\$

Cách 1 (Giải chay sử dụng BĐT):

Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương, ta có:

`(0,5 + e^(-0,75t))^2 >= 4 * 0,5 e^(-0,75t) = 2e^(-0,75t)`

`=> P^'(t) <= (22,5e^(-0,75t)) / (2e^(-0,75t)) = 11,25`

Dấu "`=`" xảy ra`<=>e^(-0,75t) = 0,5`

`=>P(t) = 30 / (0,5 + 0,5) = 30`

Cách 2 (Khuyến khích): Bấm máy, có thể dùng `"MODE 8 TABLE"` hoặc bấm giải `d/dx`

`@` Dùng `"TABLE"` máy `580`:

Tắt `g(x)` để máy quét `40` giá trị

`["SHIFT"] +["MENU"] qquad [▾] qquad [2]` (Bảng giá trị) `qquad [1]` `(1:f(x))`

Thoát ra vào `["MENU"] qquad [8]`

Nhập `f(x)= (22,5e^(-0,75x)) / (0,5 + e^(-0,75x))^2`

`"START":` `-20`

`"END":` `20`

`"STEP":` `1`

`=>` Dò cột thấy `f(x)_max` trong khoảng `[0;2]`

Quét lần nữa

`"START":` `0`

`"END":` `2`

`"STEP":` `2/40`

`=>f(x)~~ 11,249` tại `x=0,9`

`("*")` Nếu muốn chính xác nữa thì bạn cứ thu hẹp lại xong quét một lần nữa, cách này sẽ nhanh và hiệu quả nếu làm quen.

$\\$

`@` Dùng `d/dx`

Nhập `d/dx((22,5e^(-0,75x)) / (0,5 + e^(-0,75x))^2)|_(x=x)`

`"SHIFT SOLVE"` gán `x=20` (số càng gần càng ra nghiệm nhanh)

`=>` Giải ra `x` rồi thay vào `P(t)` là được

`("*")` Hàm mũ cồng kềnh nên cách này sẽ lâu, không khuyến khích lắm

$\\$

Cách 3 (Giải chay đạo hàm): Với bài này quá cồng kềnh, không nên