giải chi tiết câu 12

Xét tam giác vuông $ABC$, ta có:$\\$ $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} \\\quad\,\,\,= \sqrt{(4\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{7})^2}\\\quad \,\,\,= 2\sqrt{21}$ $\cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{2\sqrt{7}}{4\sqrt{7}} = \dfrac{1}{2}$ $\widehat{BAC} = 60^\circ$ $\\$ $AH = \dfrac{1}{4}AC = \sqrt{7}$ $\\$ $HC = \dfrac{3}{4}AC = 3\sqrt{7}$ $\\$ Xét tam giác $ABH$, ta có: $HB^2 = AB^2 + AH^2 - 2 \cdot AB \cdot AH \cdot \cos \widehat{BAC}$ $\\$ $HB^2 = (2\sqrt{7})^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \cos 60^\circ = 21$ $\\$ $HB = \sqrt{21}$ $\\$ Chiều cao hình lăng trụ: $\\$ $A'H = HB \cdot \tan 45^\circ = \sqrt{21}$ $\\$ Kẻ $HK \perp BC$ tại $K$:$\\$ $\dfrac{HK}{AB} = \dfrac{HC}{AC} = \dfrac{3}{4}$ $\\$ $HK = \dfrac{3}{4} \cdot 2\sqrt{7} = \dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ $\\$ Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(A'BC)$: $\dfrac{1}{d^2(H, (A'BC))} = \dfrac{1}{A'H^2} + \dfrac{1}{HK^2}= \dfrac{1}{21} + \dfrac{4}{63} = \dfrac{1}{9}$ $\\$ $\rightarrow d(H, (A'BC)) = 3$ $\\$ Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$:$\\$ $d(A, (A'BC)) = \dfrac{AC}{HC} \cdot d(H, (A'BC))= \dfrac{4}{3} \cdot 3 = 4$ $\\$ $\Rightarrow \rm A$