`x^3 + y^3 = 3 (xy+1)`

`(x+y)^3 - 3xy (x+y) = 3xy + 3`

`(x+y)^3 - 3xy (x+y) - 3xy + 1 = 4`

`(x+y)^3 + 1 - 3xy (x+y+1) = 4`

`(x+y+1)(x^2 + 2xy + y^2 - x - y + 1) - 3xy (x+y+1) = 4`

`(x+y+1)(x^2 + y^2 - xy - x - y + 1)= 4`

Ta có nhận xét sau:

`x^2 + y^2 - xy - x - y + 1`

`= 1/2 . (2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x - 2y + 2)`

`= 1/2 . [(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1)]`

`= 1/2 . [(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2] >= 0`

Suy ra: `x + y + 1 > 0`

Vì `x,y in ZZ` nên `x + y + 1, x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 in Ư(4) = {1;2;4}`

Trường hợp 1: `{(x + y + 1 = 1),(x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 = 4):}`

`{(x = -y),((-y)^2 + y^2 - (-y) . y - (-y) - y - 3 = 0):}`

`{(x = -y),(3y^2 - 3 = 0):}`

`{(x = -y),(y^2 - 1 = 0):}`

`{(x = -y),((y-1)(y+1) = 0):}`

`{(x = -y),(y - 1 =0):}` hoặc `{(x = -y),(y + 1 = 0):}`

`{(x = -1),(y = 1):}` hoặc `{(x = 1),(y = -1):}`

Trường hợp 2: `{(x + y + 1 = 2),(x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 = 2):}`

`{(x = 1- y),((1-y)^2 + y^2 - (1-y)y - (1-y) - y + 1 = 2):}`

`{(x = 1-y),(y^2 - 2y + 1 + y^2 + y^2 -y + y - 1 - y - 1 = 0):}`

`{(x = 1-y),(3y^2 - 3y - 1 = 0):}`

Xét phương trình `3y^2 - 3y - 1 = 0`, ta có:

`3y^2 - 3y = 1`

`1 = 3y (y-1)`

Với `y in ZZ` thì `3y(y-1)vdots 3` nên `1 vdots 3` (vô lí), suy ra phương trình `3y^2 - 3y - 1 = 0` không có nghiệm `y` nguyên (loại)

Trường hợp 3: `{(x + y + 1 = 4),(x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 = 1):}`

`{(x = 3 - y),((3-y)^2 + y^2 - (3-y)y - (3-y) - y = 0):}`

`{(x = 3-y),(y^2 - 6y + 9 + y^2 + y^2 - 3y + y - 3 - y = 0):}`

`{(x = 3-y),(3y^2 - 9y + 6 = 0):}`

`{(x = 3-y),(y^2 - 3y + 2 = 0):}`

`{(x = 3-y),((y-1)(y-2) = 0):}`

`{(x = 3-y),(y - 1 = 0):}` hoặc `{(x = 3 - y),(y - 2 = 0):}`

`{(x = 2),(y = 1):}` hoặc `{(x = 1),(y = 2):}`

Vậy, `(x;y) in {(-1;1);(1;-1);(2;1);(1;2)}`