BĐT `<=>sum_("cyc") 2/sqrt(4a + (b-c)^2) >= 5`

Biến đổi biểu thức trong căn

`4a + (b-c)^2 = 4a(a+b+c) + (b-c)^2 = (a+1)^2 - 4bc`

`=>sum_("cyc") 2/sqrt(4a + (b-c)^2) = sum_("cyc") 2/sqrt((a+1)^2 - 4bc)`

$\stackrel{\text{AM-GM}}{\ge}$`sum_("cyc")(2*2(a+1))/((a+1)^2-4bc+(a+1)^2)=sum_("cyc")
(2(a+1))/((a+1)^2 - 2bc)`

BĐT cần chứng minh `<=>sum_("cyc")(a+1)/((a+1)^2 - 2bc)>=5/2`

`<=>sum_("cyc") ((a+1)/((a+1)^2 - 2bc) - (2-a)/2) >= 0`

`<=> sum_("cyc")(overbrace{a^3 - a + 4bc - 2abc}^{T_a})/(2M_a)>=0`

(Với dãy `M_a := (a+1)^2 - 2bc >= 1 - (b+c)^2/2 >= 1/2;M_b, M_c` XĐTT)

Đồng bậc hoá tử số với `a+b+c=1` ta được

`T_a = -2a^2(b+c) - a(b^2+c^2) + 4bc(b+c)`

Tương tự cho `T_b, T_c`, ta cần CM: `sum_("cyc") (T_a)/(M_a) >= 0`

Do tính đối xứng, KMTTQ giả sử `a >= b >= c`

Ta xét hiệu hai dãy:

`{(T_a - T_b = -(a-b)(ab + 6ac + 6bc + 5c^2) <= 0 ),(M_a - M_b = (a-b)(a+b+2c+2) >= 0):}`

`=>{(T_a <= T_b <= T_c),(1/M_a <= 1/M_b <= 1/M_c):}`

`=>(T_a, T_b, T_c)` và `(1/M_a, 1/M_b, 1/M_c)` đơn điệu cùng chiều

Theo BĐT Chebyshev ta có:

`sum_("cyc") T_a/M_a >= 1/3sum_("cyc")T_a sum_("cyc")1/M_a`

Mặt khác, `sum_("cyc")T_a=sum_{"sym"} a^2b=sum_("cyc")ab(a+b)>=0`  `("**")`

Từ `("*")` và `("**")`

`=> sum_("cyc") T_a/M_a >= 0`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>(a,b,c) = (1,0,0)` và các hoán vị