Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 $A = \frac{x^2 + 2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{x - 2}$

$A = \frac{x^2 + 2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}$

$A = \frac{x^2 + 2 + x + 2}{(x - 2)(x + 2)}$

$A = \frac{x^2 + x + 4}{(x - 2)(x + 2)}$

$A = \frac{x^2 + x + 4}{x^2 - 4}$

Vậy biểu thức rút gọn là: $A = \frac{x^2 + x + 4}{x^2 - 4}$

Để tìm giá trị nguyên dương của $x$

Điều kiện xác định: $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$. Vì $x$ nguyên dương ($x \in \mathbb{Z}^+$), nên ta loại $x=2$.

$A = \frac{(x^2 - 4) + x + 8}{x^2 - 4} = 1 + \frac{x + 8}{x^2 - 4}$

Xét các giá trị $x$ nguyên dương ($x \in \{1, 3, 4, 5, ...\}$):

Với $x = 1$:$A = 1 + \frac{1 + 8}{1^2 - 4} = 1 + \frac{9}{-3} = 1 - 3 = -2$ (Không thỏa mãn vì $A$ phải dương).

Với $x = 3$:$A = 1 + \frac{3 + 8}{3^2 - 4} = 1 + \frac{11}{5} = 3,2$ (Không thỏa mãn vì $A$ không nguyên).

Với $x = 4$:$A = 1 + \frac{4 + 8}{4^2 - 4} = 1 + \frac{12}{12} = 1 + 1 = 2$ (Thỏa mãn, $A$ nguyên dương).

Với $x \ge 5$:Ta xét giá trị phân thức $M = \frac{x + 8}{x^2 - 4}$. Khi $x \ge 5$, ta có $x^2 - 4 > x + 8$.

Vì $0 < \frac{x + 8}{x^2 - 4} < 1$ với mọi $x \ge 5$, nên biểu thức $A = 1 + M$ sẽ nằm trong khoảng $(1; 2)$ và không bao giờ là số nguyên.

Giá trị $x$ nguyên dương duy nhất thỏa mãn đề bài là $x = 4$.