Gọi $t$ là thời gian tàu $T$ di chuyển từ cảng $C$ đến vị trí cách đều hai đài quan sát (đơn vị: giờ, $t > 0$).

Vì tàu di chuyển với vận tốc $12\text{ km/h}$ nên quãng đường tàu đi được sau thời gian $t$ là:

$CT = 12t$ (km)

Theo đề bài, ba điểm $A, C, B$ cùng nằm trên đường bờ biển thẳng, với $C$ nằm giữa $A$ và $B$ (do $A, B$ nằm về hai phía của cảng $C$).

Ta có: $AC = 2\text{ km}$, $CB = 3\text{ km}$.

Góc giữa đường đi của tàu và bờ biển về phía $B$ là $\widehat{TCB} = 60^\circ$.

Do $A, C, B$ thẳng hàng nên hai góc $\widehat{TCA}$ và $\widehat{TCB}$ là hai góc kề bù:

$\widehat{TCA} = 180^\circ - \widehat{TCB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Để tàu cách đều hai đài quan sát $A$ và $B$ thì khoảng cách từ tàu $T$ đến $A$ và $B$ phải bằng nhau, tức là:

$TA = TB \Leftrightarrow TA^2 = TB^2$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $TCA$, ta có:

$TA^2 = CA^2 + CT^2 - 2 \cdot CA \cdot CT \cdot \cos\widehat{TCA}$

$TA^2 = 2^2 + (12t)^2 - 2 \cdot 2 \cdot 12t \cdot \cos 120^\circ$

$TA^2 = 4 + 148t^2 - 48t \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)$

$TA^2 = 144t^2 + 24t + 4$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $TCB$, ta có:

$TB^2 = CB^2 + CT^2 - 2 \cdot CB \cdot CT \cdot \cos\widehat{TCB}$

$TB^2 = 3^2 + (12t)^2 - 2 \cdot 3 \cdot 12t \cdot \cos 60^\circ$

$TB^2 = 9 + 144t^2 - 72t \cdot \dfrac{1}{2}$

$TB^2 = 144t^2 - 36t + 9$

Vì $TA^2 = TB^2$ nên ta có phương trình:

$144t^2 + 24t + 4 = 144t^2 - 36t + 9$

$24t + 36t = 9 - 4$

$60t = 5$

$t = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ (giờ)

Suy ra: $\dfrac{1}{12} \cdot 60 = 5$ (phút)

Vậy sau $5$ phút thì tàu cách đều hai đài quan sát.