Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có `(a^2+b^2)/(b^2+c^2)=a/c`

`c(a^2+b^2)=a(b^2+c^2)`

`ca^2+cb^2=ab^2+ac^2`

`ca^2-ac^2+cb^2-ab^2=0`

`ac(c-a)-b^2(c-a)=0`

`(c-a)(ac-b^2)=0`

Với `c-a=0` thì `c=a` `(`mâu thuẫn do `a ne c)`

Với `ac-b^2=0` thì `b^2=ac`

Phản chứng, giả sử `a^2+b^2+c^2` là số nguyên tố. 

Do đó đó phải có một ước là `1`   `(**)`

Ta có `a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=(a+c)^2-ac`

`=(a+c)^2-b^2=(a-b+c)(a+b+c)`

`=[(sqrta-sqrtc)^2+sqrt(ac)][(sqrta-sqrtc)^2+3sqrt(ac)]`

Dễ thấy `(sqrta-sqrtc)^2+sqrt(ac)<(sqrta-sqrtc)^2+3sqrt(ac)`

Kết hợp với `(**)` ta được:

`(sqrta-sqrtc)^2+sqrt(ac)=1`

`(sqrta-sqrtc)^2=1-sqrt(ac)`

Dễ có `(sqrta-sqrtc)^2>0` vì `a ne c.` Dẫn đến `1-sqrt(ac)>0` hay `ac<1.`

Mặt khác, từ giả thiết `(a^2+b^2)/(b^2+c^2)>0` nên `a/c>0`

Theo đó `a` và `c` cùng dấu nên `ac>0`

Như vậy `0<ac<1.` Mà `a,c in ZZ` nên `ac` phải là số nguyên.

Dẫn tới chúng mâu thuẫn. Chứng tỏ rằng giả sử là sai.

Vậy `a^2+b^2+c^2` không phải là số nguyên tố.