Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`x^3+y^3=3xy+1`

`(x+y)^3-3xy(x+y)=3xy+1`

`(x+y)^3-3xy(x+y)-3xy-1+2=2`

`(x+y)^3-3xy(x+y)-3xy+1=2`

`(x+y+1)[(x+y)^2-(x+y)+1]-3xy(x+y+1)=2`

`(x+y+1)[(x+y)^2-x-y)+1-3xy]=2`

`(x+y+1)(x^2+2xy+y^2-x-y+1-3xy)=0`

`(x+y+1)(x^2-xy+y^2+x+y+1)=2`

Do `x+y+1>=1` `(`do `x,y in NN)` nên ta xét các trường hợp:

`@` `x+y+1=1` thì `x+y=0` hay `x=-y.` Thế lại vào phương trình đã cho:

`(-y)^3+y^3=3(-y)y+1`

`0=-3y^2+1`

`3y^2=1`

`y^2=1/3` suy ra `y=+-sqrt(1/3)` (không thoả mãn)`

`@` `x+y+1=2` thì `x=1-y.` Thế lại vào phương trình đã cho:

`(1-y)^3+y^3=3(1-y)y+1`

`1^3-3y+3y^2-y^3+y^3=3y-3y^2+1`

`-6y+6y^2=0`

`-6y(y-1)=0`

`y(y-1)=0`

Trường hợp `1:` `y=0` suy ra `x=1` (thoả mãn).

Trường hợp `2:` `y-1=0` thì `y=1` suy ra `x=0` (thoả mãn)

Vậy các cặp số tự nhiên `(x;y)` thoả mãn là `(1;0);(0;1).`