`a)`

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

`x^2 = 2x + 4m^2 - 8m + 3`

`x^2 - 2x - (4m^2 - 8m + 3) = 0`

`\Delta' = (-1)^2 - 1. [-(4m^2 - 8m + 3)]`

`= 1 + 4m^2 - 8m + 3`

`= 4m^2 - 8m + 4`

`=(2m-2)^2`

Để $(d)$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt

`=>\Delta' > 0`

`=>(2m-2)^2>0`

`=>2m-2 ne 0`

`2m ne 2`

`m ne 1 `

Vậy với $m \neq 1$ thì đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$

Theo định lý Vi-ét, ta có:

`x_1+x_2=2`

`x_1x_2=- (4m^2 - 8m + 3)`

Vì $A, B \in (P)$ nên tọa độ thỏa mãn $y_1 = x_1^2$ và $y_2 = x_2^2$

Ta có:  `y_1 + y_2 = 10`

`=>x_1^2 + x_2^2 = 10`

`(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10`

Thay các giá trị từ định lý Vi-ét vào phương trình, ta được:

`2^2 - 2[-(4m^2 - 8m + 3)] = 10`

`4 + 2(4m^2 - 8m + 3) = 10`

`4 + 8m^2 - 16m + 6 = 10`

`8m^2 - 16m + 10 = 10`

`8m^2 - 16m = 0`

`8m(m - 2) = 0`

`8m=0` hoặc `m-2=0`

`m=0` `(`tmđk`)` hoặc `m=2` `(`tmđk`)`

Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m = 0$ hoặc $m = 2$

`b)`

Gọi chỉ tiêu tuyển sinh ban đầu của Trường THPT `A` và Trường THPT `B` lần lượt là $x$ và $y$ `(`học sinh; $x, y \in \mathbb{N}^*; x, y < 900$`)`

Vì tổng chỉ tiêu ban đầu của hai trường là `900` học sinh nên ta có phương trình:

`x+y=900`     `(1)`

Số lượng thí sinh đăng ký thực tế của Trường `A` là $x + 15\%x = 1,15x$ `(`học sinh`)`

Số lượng thí sinh đăng ký thực tế của Trường `B` là $y + 10\%y = 1,10y$ `(`học sinh`)`

Vì tổng số thí sinh đăng ký dự tuyển thực tế của cả hai trường là `1010` học sinh nên ta có phương trình:

`1,15x + 1,1y = 1010`     `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`, ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x+y=900\\1,15x + 1,1y = 1010 \end{cases}$

Giải hệ phương trình trên, ta được `{(x=400 text{ (tmđk)}),(y=500 text{ (tmđk)}):}`

Số thí sinh đăng ký vào Trường THPT `A` là: $400 .  1,15 = 460$ `(`học sinh`)`

Số thí sinh đăng ký vào Trường THPT `B` là: $500 .  1,1 = 550$ `(`học sinh`)`

Vậy số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển thực tế của Trường THPT `A` là `460` học sinh và của Trường THPT `B` là `550` học sinh