Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
& \text{Phương trình đã cho: } x + \sqrt{x^2 + 4} = 2^{x + 1} \quad (1) \\
& \text{Tập xác định: } D = \mathbb{R}. \\
& \text{Ta có } \sqrt{x^2 + 4} > \sqrt{x^2} = |x| \ge -x \Rightarrow x + \sqrt{x^2 + 4} > 0, \forall x \in \mathbb{R}. \\
& \text{Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình (1), ta được:} \\
& \log_2 \left( x + \sqrt{x^2 + 4} \right) = \log_2 \left( 2^{x + 1} \right) \\
& \Leftrightarrow \log_2 \left( x + \sqrt{x^2 + 4} \right) = x + 1 \\
& \Leftrightarrow \log_2 \left( x + \sqrt{x^2 + 4} \right) - x - 1 = 0. \\
& \text{Xét hàm số } f(x) = \log_2 \left( x + \sqrt{x^2 + 4} \right) - x - 1 \text{ liên tục trên } \mathbb{R}. \\
& \text{Đạo hàm của hàm số:} \\
& f'(x) = \frac{1}{\left( x + \sqrt{x^2 + 4} \right) \ln 2} \cdot \left( x + \sqrt{x^2 + 4} \right)' - 1 \\
& f'(x) = \frac{1}{\left( x + \sqrt{x^2 + 4} \right) \ln 2} \cdot \left( 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 4}} \right) - 1 \\
& f'(x) = \frac{1}{\left( x + \sqrt{x^2 + 4} \right) \ln 2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 4} + x}{\sqrt{x^2 + 4}} - 1 \\
& f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4} \cdot \ln 2} - 1. \\
& \text{Đánh giá dấu của } f'(x): \\
& \text{Với mọi } x \in \mathbb{R}, \text{ ta có } x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \ge 4 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 4} \ge 2. \\
& \Rightarrow \sqrt{x^2 + 4} \cdot \ln 2 \ge 2\ln 2 = \ln 4. \\
& \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4} \cdot \ln 2} \le \frac{1}{\ln 4} = \log_4 e. \\
& \text{Vì cơ số } 4 > e \approx 2,718 \text{ nên } \log_4 e < 1. \\
& \Rightarrow f'(x) \le \log_4 e - 1 < 0, \forall x \in \mathbb{R}. \\
& \text{Suy ra hàm số } f(x) \text{ luôn nghịch biến trên } \mathbb{R}. \\
& \text{Do đó, phương trình } f(x) = 0 \text{ nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.} \\
& \text{Mặt khác, ta nhận thấy: } \\
& f(0) = \log_2 \left( 0 + \sqrt{0^2 + 4} \right) - 0 - 1 = \log_2(2) - 1 = 1 - 1 = 0. \\
& \text{Vậy } x = 0 \text{ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.}
\end{align*}$