Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Rút gọn biểu thức P

Điều kiện xác định :

$x \neq 0$

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

$\frac{x^4 - x}{x^2 + x + 1} = \frac{x(x^3 - 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{x(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} = x(x - 1) = x^2 - x$

$\frac{2x^2 + x}{x} = \frac{x(2x + 1)}{x} = 2x + 1$

$\frac{2(x^2 - 1)}{x - 1} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 2(x + 1) = 2x + 2$

Thay các kết quả vừa rút gọn vào biểu thức $P$:

$P = (x^2 - x) - (2x + 1) + (2x + 2)$

$P = x^2 - x - 2x - 1 + 2x + 2$

$P = x^2 - x + 1$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

$P = x^2 - x + 1$

$P = \left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} + 1$

$P = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

$P \ge \frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ $x \neq 0$ và $x \neq 1$).

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\frac{3}{4}$, đạt được khi $x = \frac{1}{2}$.

Câu 3

a) Rút gọn biểu thức M

$M = \frac{x^4 + 2}{x^6 + 1} + \frac{x^2 - 1}{x^4 - x^2 + 1} - \frac{x^2 + 3}{x^4 + 4x^2 + 3}$

$\frac{x^2 + 3}{x^4 + 4x^2 + 3} = \frac{x^2 + 3}{(x^2 + 1)(x^2 + 3)} = \frac{1}{x^2 + 1}$

$\frac{x^4 + 2}{x^6 + 1} + \frac{x^2 - 1}{x^4 - x^2 + 1}$

$= \frac{x^4 + 2}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)} + \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)}$

$= \frac{x^4 + 2 + x^4 - 1}{x^6 + 1}$

$= \frac{2x^4 + 1}{x^6 + 1}$

$M = \frac{2x^4 + 1}{x^6 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1}$

$M = \frac{2x^4 + 1}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)} - \frac{x^4 - x^2 + 1}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)}$

$M = \frac{2x^4 + 1 - (x^4 - x^2 + 1)}{x^6 + 1}$

$M = \frac{x^4 + x^2}{x^6 + 1}$

$M = \frac{x^2(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)}$

$M = \frac{x^2}{x^4 - x^2 + 1}$

b) Tính giá trị lớn nhất của M

Ta có: $M = \frac{x^2}{x^4 - x^2 + 1}$

Nếu $x = 0 \Rightarrow M = 0$.

Nếu $x \neq 0$, ta chia cả tử và mẫu của $M$ cho $x^2$ (do $x^2 > 0$):

$M = \frac{1}{x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) cho hai số dương là $x^2$ và $\frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}} = 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} - 1 \ge 2 - 1 = 1$

Do đó:

$M = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2} - 1} \le \frac{1}{1} = 1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $x^2 = \frac{1}{x^2} \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$.

Trường hợp $x = 0$ ($M = 0$), ta thấy giá trị cực đại là $1$.

Giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ là 1, đạt được khi $x = 1$ hoặc $x = -1$.