Ta có:

`3c^2 = ab + c (a+b)`

`3c^2 = ab + ac + bc`

`4c^2 = c^2 + ab + ac + bc`

`4c^2 = (c^2 + ac) + (ab+bc)`

`4c^2 = c (a+c) + b (a+c)`

`4c^2 = (b+c)(a+c) = (2c)^2`

Đặt `d = (b+c,a+c)`, khi đó `a - b \vdots d`, đặt `a - b = k`, khi đó `d \in {1;k}` (vì `k` là số nguyên tố).

+) Nếu `d = 1` thì `b + c` và `a + c` là các số chính phương (vì tích của `b+c` và `a+c` là một số chính phương)

Đặt `a+c = x^2 , b+ c = y^2 (x,y \in NN)`, khi đó `x^2 - y^2 = a - b`

`(x-y)(x+y) = k`

Vì `x,y \in NN` nên `x-y , x + y \in Ư(k) = {+-1; +-k}`

Mà `x - y < x + y`, đồng thời `x + y > 0` nên `x + y = k`, `x - y = 1`

Khi đó: `x = (k + 1)/2` và `y = (k - 1)/2`

Từ đó: `4c^2 = [((k+1)(k-1))/(2.2)]^2 = [(k^2 - 1)/4]^2`

`2c = (k^2 - 1)/4`

`8c = k^2 - 1`

`8c + 1 = k^2` là số chính phương

+) Nếu `d = k`, đồng thời `(b+c)(a+c) = (2c)^2` là số chính phương nên ta đặt: `\{(a + c = k\alpha^2),(b + c = k\beta^2),(\alpha\text{,}\beta \in NN ):}`

Khi đó: `a - b = k (alpha^2 - beta^2)`

`k = k (alpha - beta) (alpha + beta)`

`(alpha-beta)(alpha+beta) = 1`

Khi đó `{(alpha - beta = 1),(alpha + beta=1):}`

`{(alpha = 1),(beta = 0):}`

Khi đó:

`(2c)^2 = k .1^2 . k . 0^2`

`2c = 0`

`8c + 1 = 1` là số chính phương.

Vậy, ta có điều phải chứng minh.