Gọi `H` là hình chiếu vuông góc của `M` lên mặt phẳng `(ABC)`

`MA, MB, MC` hợp với `(ABC)` các góc bằng nhau

`=>H` là tâm đường tròn ngoại tiếp `triangle ABC`

`{M}` thoả mãn đề bài là đường thẳng `d` đi qua `H` và `bot (ABC)`

Ta có `{(vec(AB) = (4; 1; -1)),(vec(AC) = (1; 1; -4)):}`

`=>[vec(AB), vec(AC)] = (-3; 15; 3)~~(-1; 5; 1)`

`=>(ABC):-1(x - 1) + 5(y - 2) + 1(z - 0) = 0`

`=>x - 5y - z + 9 = 0`

`H in (ABC) =>` toạ độ `H(x; y; z)` thỏa mãn `x - 5y - z + 9 = 0`        `(1)`

Lại có `HA = HB`

`=> (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2`

`=>4x + y - z - 15 = 0`        `(2)`

Và `HA = HC``

`=> (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 4)^2`

`=>x + y - 4z - 12 = 0`        `(3)`

Từ `(1)`, `(2)` và `(3)` ta có hệ:

`{(x - 5y - z + 9 = 0), (4x + y - z - 15 = 0), (x + y - 4z - 12 = 0):}`

`=>{(x = 8/3), (y = 8/3), (z = -5/3):}`

`=>H(8/3; 8/3; -5/3)`

`d` đi qua `H` và nhận `vec(u) = vec(n) = (-1; 5; 1)` làm vtcp

Mặt cầu `(S)` có tâm `I(-1/3; -1/3; -2/3)` và `R = sqrt(6)`

Ta có `vec(IH) = (3; 3; -1)`

`=>d(I, d) = (| [vec(IH)"," vec(u)] |)/(|vec(u)|)= (sqrt(8^2 + (-2)^2 + 18^2))/(sqrt((-1)^2 + 5^2 + 1^2))`

`= (14sqrt(2))/(3sqrt(3))`

`= (14sqrt(6))/9`

Nhận thấy `d(I, d) = (14sqrt(6))/9 > R=sqrt6`

`=> d` không cắt mặt cầu `(S)`

`=>MN_min<=> {(MI bot d " tại " M ),(N=IMnn(S)):}`

`=>MN_min = d(I, d) - R`

`= (14sqrt(6))/9 - sqrt(6)`

`~~ 1.36`