Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Cho biểu thức: $A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \right)$

Điều kiện xác định (ĐKXĐ): $x > 0$ và $x \neq 1$.

a) Rút gọn biểu thức A

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} = \frac{1 - (\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}} = \frac{1 - x}{\sqrt{x}}$

$\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) + (1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{(x - 1) + 1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

$A = \frac{1 - x}{\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

$A = \frac{1 - x}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

$A = \frac{-(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

$A = \frac{-(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} = \frac{-(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}}$

b) Tính giá trị của A khi $x = \frac{2}{2 - \sqrt{3}}$

$x = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 - 3} = 4 + 2\sqrt{3}$

$x = 4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} + 1)^2$

$\implies \sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1 \quad (\text{vì } \sqrt{3} + 1 > 0)$

Thay $\sqrt{x} = \sqrt{3} + 1$ và $x = 4 + 2\sqrt{3}$ vào công thức $A = \frac{-(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}}$:

Ta có:

$A = \frac{-(7 + 4\sqrt{3})}{\sqrt{3} + 1}$

$A = \frac{-(7 + 4\sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

$A = \frac{-(7\sqrt{3} - 7 + 4 \cdot 3 - 4\sqrt{3})}{3 - 1}$

$A = \frac{-(3\sqrt{3} + 5)}{2} = \frac{-5 - 3\sqrt{3}}{2}$

Khi $x = \frac{2}{2 - \sqrt{3}}$ thì giá trị của biểu thức $A$ là $\frac{-5 - 3\sqrt{3}}{2}$.