Từ giả thiết `p_2 > 9` và `p_2` nguyên tố `=> p_2` là số lẻ
Xét ĐK ii) `p_1 + p_2 = 3p`
Nếu `p_1` lẻ `=> p_1 + p_2` chẵn `=> 3p` chẵn
`=> p = 2` (do `p` nguyên tố)
`=> p_1 + p_2 = 6` (vô lý vì `p_2 > 9`)
`=> p_1` chẵn, mà `p_1` nguyên tô `=> p_1 = 2`
Thay `p_1 = 2` vào iii)
`=> p_2 + p_3 = 2^n(2 + p_3)`
`=> p_2 = 2^{n+1} + p_3(2^n - 1)`
Thay `p_1 = 2` vào ii) `=> 2 + p_2 = 3p => p_2 = 3p - 2`
Suy ra `3p - 2 = 2^{n+1} + p_3(2^n - 1)`
`=> 3p = 2^(n+1) + 2 + p_3(2^n - 1)`     `("*")`

$\\$
TH1:`n` chẵn, đặt `n = 2k` với `k in NN^*`
`=> 2^n = 4^k -= 1 ` `(mod 3)`
Xét ĐK i) `p_1 + p_3^n = 2 + p_3^{2k}`
Nếu `p_3 != 3`, do `p_3` nguyên tố
`=> p_3` $\not{\vdots}$ `3 => p_3^2 -= 1 ` `(mod 3)`
`=> p_3^{2k} -= 1 ` `(mod 3)`
`=> 2 + p_3^{2k} -= 2 + 1  -= 0 ` `(mod 3)`
Mà `2 + p_3^{2k} > 3 => 2 + p_3^{2k}` là hợp số (trái với i)
`=> p_3 = 3`
Thay `p_3 = 3` và `2^n -= 1 ` `(mod 3)` vào `("*")` ta có:
`VP = 2*2^n + 2 + 3(2^n - 1) -= 2*1 + 2 + 0 = 4 -= 1 ` `(mod 3)`
Mà `VT = 3p -= 0 ` `(mod 3)`
`=>` Vô lý, nên `n` phải lẻ

$\\$
TH2: `n` lẻ
`=> 2^n = 2*4^{(n-1)/2} -= 2*1 -= -1 ` `(mod 3)`
`=> 2^{n+1} -= 1 ` `(mod 3)` và `2^n - 1 -= 0 ` `(mod 3)`
Xét `("*")` theo modulo 3 ta có:
`0 -= 1 + 2 + p_3(-1 - 1) ` `(mod 3)`
`=> 0 -= 3 - 2p_3 ` `(mod 3)`
`=> 2p_3 -= 0 ` `(mod 3)`
Mà `(2,3) = 1=> p_3 -= 0 (mod 3)=>p_3=3` (vì là snt)
Thay `p_1 = 2` và `p_3 = 3` vào i) `=> 2 + 3^n` là snt
Do `n < 11` và `n` lẻ `=> n in {1, 3, 5, 7, 9}`
`@` `n = 1 => 2 + 3^1 = 5` (TM), khi đó:

`p_2 = 2^2 + 3(2^1 - 1) = 7` (loại do `p_2 > 9`)
`@` `n = 3 => 2 + 3^3 = 29` (TM)
`=> p_2 = 2^4 + 3(2^3 - 1)  = 37` (TM)
`=> p = (p_1 + p_2)/3 = 39/3 = 13` (TM)
`@`  `n = 5 => 2 + 3^5 = 245` (loại)
`@`  `n = 7 => 2 + 3^7 = 2189 = 11*199` (loại)
`@`  `n = 9 => 2 + 3^9 = 19685` (loại)
`=>{(n=3), (p_1=2), (p_2=37), (p_3=3), (p=13):}`
`=>p_1p_2p_3^n + p - n = 2*37*3^3 + 13 - 3  = 2008`