cho $a,b \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $a^3+a^2 = b^4+1$. Tìm $a,b$ để $$A= a^2 + 2a+2b^2$$ là số nguyên tố. câu hỏi 8362408 - hoidap247.com

Question

cho $a,b \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $a^3+a^2 = b^4+1$. Tìm $a,b$ để $$A= a^2 + 2a+2b^2$$ là số nguyên tố.

duycuong5 · Answer

Ta có: `A = a^2 + 2a + 2b^2``=>A(a - 1) = (a^2 + 2a + 2b^2)(a - 1)``= a^3 - a^2 + 2a^2 - 2a + 2ab^2 - 2b^2``= a^3 + a^2 - 2a + 2ab^2 - 2b^2`Mà `a^3 + a^2 = b^4 + 1``=>A(a - 1) = b^4 + 1 - 2a + 2ab^2 - 2b^2``= b^4 + 1 - 2a + 2ab^2 - 2b^2`
`= b^4 + 2ab^2 - b^2 - b^2 - 2a + 1`
`= b^2(b^2 + 2a - 1) - 1(b^2 + 2a - 1)`
`= (b^2 - 1)(b^2 + 2a - 1)`Vì `A` là số nt nên theo bổ đề Euclid, một trong hai thừa số phải `vdots A``=> [(b^2 - 1 vdots A),(b^2 + 2a - 1 vdots A):}`Xét hiệu:`A - (b^2 - 1) = a^2 + 2a + 2b^2 - b^2 + 1 = a^2 + 2a + b^2 + 1 > 0``=> A > b^2 - 1 >= 0``A - (b^2 + 2a - 1) = a^2 + 2a + 2b^2 - b^2 - 2a + 1`
`= a^2 + b^2 + 1 > 0``=> A > b^2 + 2a - 1 > 0``=>A` lớn hơn hẳn cả hai thừa số, mà `b^2 + 2a - 1 > 0`
`=>b^2 + 2a - 1`  $
ot{\vdots}$ `A`
`=>  b^2 - 1 vdots A b^2 - 1=0``=> b = 1` (Vì `b in NN^ast`)Thay vào phương trình ban đầu ta được`a^3 + a^2 = 2``=> a^3 - a^2 + 2a^2 - 2a + 2a - 2 = 0``=> a^2(a - 1) + 2a(a - 1) + 2(a - 1) = 0``=> (a - 1)(a^2 + 2a + 2) = 0`Vì `a in NN^ast => a^2 + 2a + 2 > 0``=> a - 1 = 0``=> a = 1`Thử lại `(a,b)=(1,1)``A = 1^2 + 2*1 + 2*1^2 = 5` (thỏa mãn)

Elaina08 · Answer

Kbt tus sau này có aim gì nhma thấy toàn hỏi bài ngày này năm ngoái mình cx thắc mắc, mở rộng tầm mắt ms thấy cx có ng nỗ lực hơn bản thân =))
_____________________________
Giải
`a^3+a^2 =b^4+1`
`=>b^4= a^3 +a^2-1`
`=>b^2 =sqrt{a^3+a^2-1}`
`=>2b^2=2sqrt{a^3+a^2-1}`
Thay vào `A`
`=>A= a^2 +2a+2sqrt{a^3+a^2-1}`
`@a=1 =>1^2 (1+1)=b^4+1``=>2=b^4+1``=>b^4=1``=>b=1 (b in NN**)``=>A=1^2 +2.1+2.1^2=5(t//m)`
`@a>=1`
Xét hiệu `a^4` và `b^4:``a^4-b^4=a^4 -(a^3+a^2-1)``= a^4-a^3-a^2+1``= a^3 (a-1) -(a-1)(a+1)``=(a-1)(a^3-a-1)`Do `a>=1``=> (a-1)(a^3-a-1) >0``=>a^4 >b^4``=> a >b`Xét hiệu `(a-1)^4 -b^4 =(a^4-4a^3+6a^2-4a+1) -(a^3+a^2-1)`
`=a^4-5a^3+5a^2-4a+2``= a^3 (a-5) +5a(a-1)+a+2`Với `a=2 =>b^4 =11(` loại `)`Với `a=3 => b^4 =35(` loại `)`Với `a=4 =>b^4=79(` loại `)`Với `a>=5``=> {(a^3 (a-5)>=0),(5a(a-1)>0),(a+2>0):}``=> a^3 (a-5) +5a(a-1)+a+2 >0``=>b^4 `=>b Từ `(**)` và `(**` `**)``=> a>b>a-1 ``->b in emptyset``=>(a;b)` vô nghiệm với `a>1`Vậy,`(a;b)=(1;1)`

cho $a,b \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $a^3+a^2 = b^4+1$. Tìm $a,b$ để $$A= a^2 + 2a+2b^2$$ là số nguyên tố.

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 7 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

cho $a,b \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $a^3+a^2 = b^4+1$. Tìm $a,b$ để $$A= a^2 + 2a+2b^2$$ là số nguyên tố.

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 7 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?