Đáp án+giải thích:

a) 
$BE \perp AC \Rightarrow \widehat{BEC} = 90^\circ$
$CF \perp AB \Rightarrow \widehat{BFC} = 90^\circ$
Tứ giác BFEC có hai đỉnh kề E, F cùng nhìn cạnh BC dưới góc $90^\circ$
$\Rightarrow$ Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

b) 
AK là đường kính đường tròn $(O) \Rightarrow \widehat{ACK} = 90^\circ$
Xét $\triangle ABD$ và $\triangle AKC$:
$\widehat{ADB} = \widehat{ACK} = 90^\circ$
$\widehat{ABD} = \widehat{AKC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
$\Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle AKC$ (g.g)
$\Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{KAC} \Rightarrow \widehat{FAH} = \widehat{CAK}$
Xét $\triangle AFH$ và $\triangle ACK$:
$\widehat{AFH} = \widehat{ACK} = 90^\circ$
$\widehat{FAH} = \widehat{CAK}$
$\Rightarrow \triangle AFH \sim \triangle ACK$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AF}{AC} = \frac{AH}{AK} \Rightarrow AF \cdot AK = AH \cdot AC$

c) 
i) 
Tứ giác BFEC nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AFE} = \widehat{ACB}$
Xét $\triangle AFI$ và $\triangle ACJ$:
$\widehat{AFI} = \widehat{ACJ}$ (do $\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$)
$\widehat{FAI} = \widehat{CAJ}$ (do $\widehat{BAD} = \widehat{KAC}$)
$\Rightarrow \triangle AFI \sim \triangle ACJ$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AI}{AJ} = \frac{AF}{AC}$
Mà $\frac{AF}{AC} = \frac{AH}{AK} \Rightarrow \frac{AI}{AJ} = \frac{AH}{AK} \Rightarrow \frac{AI}{AH} = \frac{AJ}{AK}$
Xét $\triangle AHK$ có $\frac{AI}{AH} = \frac{AJ}{AK} \Rightarrow IJ \parallel HK$ (Định lý Thales đảo)

ii) 
Xét $\triangle ABC$: $\widehat{B} = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 75^\circ$
Xét $\triangle$ vuông ABD và ACK: $\widehat{BAD} = \widehat{CAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$
$\Rightarrow \widehat{HAK} = \widehat{BAC} - \widehat{BAD} - \widehat{CAK} = 60^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 30^\circ$
Ta có $CH \parallel BK$ (cùng $\perp AB$) và $BH \parallel CK$ (cùng $\perp AC$)
$\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành. Gọi M là giao điểm BC và HK
$\Rightarrow M$ là trung điểm HK. Do đó OM là đường trung bình $\triangle AHK \Rightarrow AH = 2OM$
Ta có góc ở tâm $\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} = 120^\circ \Rightarrow \widehat{MOC} = 60^\circ$
Xét $\triangle$ vuông OMC: $OM = OC \cdot \cos 60^\circ = \frac{R}{2} \Rightarrow AH = R$
Tính diện tích tam giác AHK:
$$S_{AHK} = \frac{1}{2} AH \cdot AK \cdot \sin \widehat{HAK} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot 2R \cdot \sin 30^\circ = \frac{R^2}{2}$$
Xét $\triangle$ vuông ABD: $AD = AB \cdot \sin 75^\circ = 2R \sin 45^\circ \sin 75^\circ = R \frac{\sqrt{3}+1}{2}$
Xét $\triangle$ vuông ADJ: $AJ = \frac{AD}{\cos 30^\circ} = R \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$
Đặt $k = \frac{AJ}{AK} = \frac{\sqrt{3}+3}{6}$. Từ phần trên ta có $\frac{AI}{AH} = k$
Tỉ số diện tích chung góc $\widehat{A}$:
$$\frac{S_{IHJ}}{S_{AHK}} = \frac{IH \cdot AJ}{AH \cdot AK} = \left(1 - \frac{AI}{AH}\right) \frac{AJ}{AK} = (1 - k)k$$
$$\Rightarrow (1 - k)k = \left(1 - \frac{\sqrt{3}+3}{6}\right) \frac{\sqrt{3}+3}{6} = \frac{1}{6}$$
$$S_{IHJ} = \frac{1}{6} S_{AHK} = \frac{R^2}{12}$$