Giải thích các bước giải:

Bài 10:

Ta có: 

$HA\perp BC\to \Delta AHC$ vuông tại $H$

$\hat C=30^o$

$\to \Delta AHC$ là nửa tam giác đều

$\to AC=2AH$

Mà $AH=\dfrac12BC$

$\to BC=2AH=AC$

$\to \Delta ABC$ cân tại $C$

$\to \widehat{CAB}=\widehat{CBA}=90^o-\dfrac12\hat C=75^o$

Bài 11:

Trên tia $BC$ lấy $E$ sao cho $BE=BA$

Xét $\Delta ABD,\Delta EBD$ có:

Chung $BD$

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$

$BA=BE$

$\to \Delta ABD=\Delta EBD(c.g.c)$

$\to DA=DE, \widehat{BAD}=\widehat{BED}$

$\to \widehat{DEC}=180^o-\widehat{DEB}=180^o-\hat A=\hat B+\hat C>\hat C$

$\to DC>DE$

$\to DC>DA$

Bài 12:

a.Vì $\hat C<\hat B$

$\to AB<AC$

Mà $AH\perp BC$

$\to HB<HC$(quan hệ đường xiên, hình chiếu)

b.Trường hợp 1: $F\in$ tia đối của tia $BC$

$\to HE<HB<HF$

Mà $AH\perp CB$

$\to AE<AB<AF$ (quan hệ đường xiên, hình chiếu)

Trường hợp 2: $F\in$ tia đối của tia $CB$

$\to HC<HF$

Mà $AH\perp BC\to AH<AC<AF$

Ta có:

$HE<HB$ do $E$ nằm giữa $HB$

$\to HE<HB$

$\to AE<AB$

Mà $AB<AC$

$\to AE<AB<AC<AF$

$\to AE<AB<AF$

$\to đpcm$

Bài 14:

a.Ta có:

$AM+AN=2AB$

$\to AM+AN=AB+AC$

$\to AB-AM=AN-AC$

$\to BM=CN$

b.Vì $NF//AB$

$\to \widehat{NFC}=\hat B=\widehat{ACB}=\widehat{NCF}$

$\to \Delta NCF$ cân tại $N$

c.Xét $\Delta KMB,\Delta KNF$ có:

$\widehat{KMB}=\widehat{KNF}$ vì $NF//AB$

$BM=NF(=NC)$

$\widehat{KBM}=\hat F$ vì $NF//AB$

$\to \Delta KMB=\Delta KNF(g.c.g)$

$\to KM=KN$

$\to K$ là trung điểm $MN$

$\to AK$ là trung tuyến $\Delta AMN$