Giải thế này chắc đủ độc và đáo rồi...

a) 
Vì `CA, CM` là tiếp tuyến của `(O)` 
`=>` `hat(CAO) = 90^@` `(CA _|_ AB)` và `hat(CMO) = 90^@` `(CM _|_ OM)`
`=>` `A, M` cùng nhìn đoạn `CO` dưới một góc vuông
`=>` `A, C, M, O` cùng thuộc đường tròn đường kính `CO`
(ĐPCM)
b)
`@` Chứng minh `(HN)/(HA) = (ON)/(OA)`
Vì `CA, CM` là 2 tiếp tuyến cắt nhau 
`=>` `OC` là tia phân giác của `hat(AOM)`
Lại có `N in OM`, `H in OC` 
`=>` `OH` là tia phân giác của `hat(AON)` trong `triangle AON`
Áp dụng định lý đường phân giác trong `triangle AON`
`=>` `(HN)/(HA) = (ON)/(OA)`
`@` Chứng minh `EH _|_ CK`
Ta chọn hệ trục tọa độ `Oxy` với `O(0,0)`, `A(-R,0)`, `B(R,0)`
Gọi tọa độ `C(-R, a)`. Vì `C, D` là giao các tiếp tuyến

`=>OC, OD` là phân giác của 2 góc kề bù
`=>` `hat(COD) = 90^@` `=>` `OC _|_ OD`
Trong `triangle COD` vuông tại `O`, `OM _|_ CD`

`=>AC * BD = OM^2 = R^2` `=>` `BD = R^2/a`
`=>D(R, R^2/a)`
Ta có các phương trình đường thẳng:
`{(BC: y = (-a)/(2R)(x - R)),(OD: y = R/a x),(OC: y = (-a)/R x):}`

`K = BC nn OD`

`=>` `R/a x = (-a)/(2R)(x - R)=>x_K = (a^2 R)/(a^2 + 2R^2)`

`=>` `y_K = (a R^2)/(a^2 + 2R^2)`
Đường thẳng `OM` đi qua `O` và `OM _|_ CD`

`=>` Pt `OM`: `y = (2aR)/(a^2 - R^2) x`
`N = BC nn OM`

`=> x_N = (R(a^2 - R^2))/(a^2 + 3R^2)` `=>` `y_N = (2aR^2)/(a^2 + 3R^2)`
Đường thẳng `AN` đi qua `A(-R,0)` và `N`

`=>` Pt `AN`: `y = (aR)/(a^2 + R^2)(x + R)`
Giao điểm `H = OC nn AN`

`=>(-a)/R x = (aR)/(a^2 + R^2)(x + R)`

`=>x_H = (-R^3)/(a^2 + 2R^2)`

`=>y_H = (a R^2)/(a^2 + 2R^2)`
Nhận thấy `y_H = y_K = (a R^2)/(a^2 + 2R^2)` 
`=>HK "//" AB`

`=> HK _|_ AC`
`E = AC nn OD=>x_E = -R=>E(-R, (-R^2)/a)` 
Vì `C, E` cùng nằm trên đường thẳng `x = -R` (chính là đt `AC`)

`=>` `HK _|_ CE`
Xét `triangle CEK` có `CO _|_ EK` (do `hat(COD) = 90^@`) và `HK _|_ CE`
`=>H` là trực tâm của `triangle CEK`
`=>EH _|_ CK`

(ĐPCM)

c) 
Theo ý b, ta có tọa độ `{(E(-R; (-R^2)/a)),(H((-R^3)/(a^2 + 2R^2); (a R^2)/(a^2 + 2R^2))):}`
`EH` đi qua `E` và `H` có phương trình: `y = (2R)/a x + R^2/a`
`T = EH nn AB` (trục hoành `y=0`)

`=>(2R)/a x + R^2/a = 0`

`=>x_T = -R/2`
`=>` `T(-R/2, 0)` là một điểm cố định (trung điểm của `OA`)
Độ dài `BT = x_B - x_T = R - (-R/2) = (3R)/2`
Vì `EH _|_ CK` (tức `EH _|_ BC`) tại `S` 
`=>triangle BST` vuông tại `S`
`S_{triangle BST} = 1/2 * BS * ST`
Áp dụng BĐT AM-GM ta được: `BS * ST <= (BS^2 + ST^2)/2 = (BT)^2/2`
`=>` `S_{triangleBST} <= 1/2 (BS^2 + ST^2)/2 = (BT^2)/4 = (9R^2)/16`
Dấu `"="` xay ra `<=>BS = ST` 
`=> triangle BST` vuông cân tại `S`
`=> hat(SBT) = 45^@`
`=> hat(ABC) = 45^@`
Xét `triangle ABC` vuông tại `A` có `hat(ABC) = 45^@`
`=> AC = AB = 2R`

Khi đó, `OA = R, AC = 2R => OC = sqrt(OA^2 + AC^2) = Rsqrt(5)`
Gọi `I =AM nn OC=> OC _|_ AM` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét `triangle OIA` và `triangle OAC` có

`hat(OIA) = hat(OAC) = 90^@`
`hat(AOC)` chung`=> triangle OIA ᔕ triangle OAC` (g-g)

`=> (AI)/(AC) = (OA)/(OC)` (tỉ lệ tương ứng)
`=> AI = (OA*AC)/(OC) = (R*2R)/(R*sqrt(5)) = (2R)/sqrt(5)`
`=> AM = 2AI = (4R)/sqrt(5)`