a)
Gọi `P = AD nn (O)`

Do `AD` là phân giác `hat(BAC) => P` là điểm chính giữa $\overparen{BC}$

`=> OP _|_ BC` tại trung điểm `M`
Ta có `{(HD _|_ BC), (OP _|_ BC):} => HD "//" OP`
Trong `triangle AOP`, vì `HD "//" OP`

`=> triangle AHD ᔕ triangle AOP` (ĐL Thales)
`=> (HD)/(OP) = (AD)/(AP) => HD = R * (AD)/(AP)` (với `R` là bán kính `(O)`)
Ta có `{(FE _|_ BC), (PM _|_ BC):} => FE "//" PM`
Trong `triangle PDM`, `E` đối xứng `D` qua `M`

`=> M` là trung điểm `DE`
Vì `FE "//" PM => (FE)/(PM) = (DE)/(DM) = 2=> FE = 2PM`
Gọi `P^'` là điểm đối xứng của `P` qua `O => PP^'` là đường kính của `(O)`
Vì `BC _|_ PP^'` tại `M => triangle PBP^'` vuông tại `B` có đường cao `BM`

`=> PB^2 = PM * PP^' = 2R * PM`
Xét `triangle PBD` và `triangle PAB` có:

`hat(BPD)` chung

`hat(PBD) = hat(PAB)` (cmt)

`=> triangle PBD ᔕ triangle PAB` (g-g)

`=> (PB)/(PA) = (PD)/(PB) => PA * PD = PB^2`

`=> 2R * PM = PA * PD`

Từ các dữ kiện trên, ta có:
`HD * FE = R * (AD)/(AP) * 2PM = AD * (2R * PM)/(AP)`

`= AD * (PA * PD)/(AP) = AD * PD`
Theo phương tích tại `D` đối với `(O)`, ta có `AD * PD = DB * DC`
`=> HD * FE = DB * DC`
Gọi `F^'` đối xứng `F` qua đường trung trực `OM` của `BC`
Vì `FE _|_ BC, HD _|_ BC` và `M` là trung điểm `DE `

`=> F^'` nằm trên đường thẳng `HD`
Xét độ dài đại số trên các đường thẳng, do `H, F^'` nằm khác phía so với `BC`
`=>overline(DH) * overline(DF^') = - HD * DF^' `

`= - HD * FE = - DB * DC = overline(DB) * overline(DC)`
`=> B, H, C, F^'` cùng thuộc một đường tròn tâm `I`
Vì `B, C` đối xứng qua `OM => I in OM`
Vì `F, F^'` đối xứng qua `OM => F` cũng thuộc đường tròn `(I)`
`=> B, H, C, F` cùng nằm trên đường tròn `(omega)` tâm `I`
(ĐPCM)
b) 
Xét phương tích của `D` đối với `(omega)`:

`overline(DT) * overline(DF) = overline(DB) * overline(DC)`
Do `{(F in DP", " E in DM),(FE "//" PM):}`

`=> overline(DF) = 2overline(DP)`
Xét phương tích của `D` đối với `(O)`

`overline(DA) * overline(DP) = overline(DB) * overline(DC)`
`=> overline(DT) * 2overline(DP) = overline(DA) * overline(DP)`

`=> 2overline(DT) = overline(DA) => T` là trung điểm của `AD`
Xét phép vị tự tâm `A` biến `P -> D` và `O -> H` (do `HD "//" OP`)
Trong `triangle AOP` cân tại `O`, trung tuyến `OK^'`

(với `K^'` là trung điểm `AP`) vuông góc với `AP`
Phép vị tự này biến `K^' -> T` và `OK^' -> HT => HT _|_ AD` tại `T`
Đường tròn `(MTP)` đi qua `Q => hat(QTP) = 90^@`

`=> QP` là đường kính của `(MTP)`
`=> hat(QMP) = 90^@`. Mà `PM _|_ BC => QM - BC => Q in BC`
`Q, D, M` thẳng hàng trên `BC`, xét phương tích của `D` đối với `(MTP)`:
`overline(DM) * overline(DQ) = overline(DT) * overline(DP)`

`= 1/2 overline(DA) * overline(DP) = 1/2 overline(DB) * overline(DC)`

`=1/2 (overline(MB) - overline(MD))(overline(MC) - overline(MD))`

`=1/2 (-overline(MC) - overline(MD))(overline(MC) - overline(MD))`

`=1/2 overline(MD)^2 - MB^2`
Và `overline(DM) * overline(DQ) = -overline(MD)(overline(MQ) - overline(MD))`

`= overline(MD)^2 - overline(MD) * overline(MQ)`
`=> overline(MD)^2 - overline(MD) * overline(MQ) = 1/2 (overline(MD)^2 - MB^2)`

`=> 2overline(MD) * overline(MQ) = overline(MD)^2 + MB^2`
Ta có:
`QD^2 = overline(QD)^2 = (overline(MD) - overline(MQ))^2`

`= overline(MD)^2 - 2overline(MD) * overline(MQ) + overline(MQ)^2`

`= overline(MD)^2 - (overline(MD)^2 + MB^2) + overline(MQ)^2`

`= overline(MQ)^2 - MB^2`
Mặt khác, phương tích của `Q` đối với `(O)` là:
`P_(Q"//"(O)) = overline(QB) * overline(QC) `

`= (overline(MB) - overline(MQ))(overline(MC) - overline(MQ))`

`= (-overline(MC) - overline(MQ))(overline(MC) - overline(MQ))`

`= overline(MQ)^2 - MB^2`
`=> QD^2 = overline(QB) * overline(QC)`
Vì `QT _|_ AD` tại trung điểm `T `

`=> QT` là đường trung trực của `AD => QA = QD`
`=> QA^2 = overline(QB) * overline(QC)`
`=>QA` chính là tiếp tuyến của đường tròn `(O)`

(ĐPCM)