Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
&\text{a) Chứng minh nếu } A \subset B \text{ thì } A \cap B = A: \\
&\bullet \text{ Ta luôn có với mọi } x: x \in A \cap B \implies \begin{cases} x \in A \\ x \in B \end{cases} \implies x \in A. \text{ Do đó: } A \cap B \subset A \quad (1) \\
&\bullet \text{ Ngược lại, lấy phần tử } x \text{ bất kỳ thuộc } A \implies x \in A. \text{ Vì } A \subset B \text{ nên } x \in B. \\
&\quad \text{Từ } x \in A \text{ và } x \in B \implies x \in A \cap B. \text{ Do đó: } A \subset A \cap B \quad (2) \\
&\text{Từ (1) và (2) suy ra tập hợp } A \cap B = A. \\
\\
&\text{b) Chứng minh nếu } A \subset C \text{ và } B \subset C \text{ thì } A \cup B \subset C: \\
&\bullet \text{ Lấy phần tử } x \text{ bất kỳ thuộc tập hợp } A \cup B \implies x \in A \text{ hoặc } x \in B. \\
&\bullet \text{ Trường hợp 1: Nếu } x \in A\text{, mà giả thiết cho } A \subset C \implies x \in C. \\
&\bullet \text{ Trường hợp 2: Nếu } x \in B\text{, mà giả thiết cho } B \subset C \implies x \in C. \\
&\text{Như vậy, trong cả hai trường hợp ta đều có } x \in C. \text{ Do đó: } A \cup B \subset C. \\
\\
&\text{c) Chứng minh nếu } A \cup B = A \cap B \text{ thì } A = B: \\
&\bullet \text{ Lấy phần tử } x \text{ bất kỳ thuộc } A \implies x \in A \cup B. \text{ Mà } A \cup B = A \cap B \text{ nên } x \in A \cap B \implies x \in B. \\
&\quad \text{Do đó: } A \subset B \quad (3) \\
&\bullet \text{ Lấy phần tử } y \text{ bất kỳ thuộc } B \implies y \in A \cup B. \text{ Mà } A \cup B = A \cap B \text{ nên } y \in A \cap B \implies y \in A. \\
&\quad \text{Do đó: } B \subset A \quad (4) \\
&\text{Từ (3) và (4) suy ra hai tập hợp bằng nhau: } A = B. \\
\\
&\text{d) Chứng minh nếu } A \subset B \text{ và } A \subset C \text{ thì } A \subset B \cap C: \\
&\bullet \text{ Lấy phần tử } x \text{ bất kỳ thuộc tập hợp } A \implies x \in A. \\
&\bullet \text{ Do } A \subset B \text{ nên } x \in B. \\
&\bullet \text{ Do } A \subset C \text{ nên } x \in C. \\
&\text{Vì } x \in B \text{ và } x \in C \text{ nên theo định nghĩa giao của hai tập hợp ta có } x \in B \cap C. \text{ Do đó: } A \subset B \cap C.
\end{aligned}$