Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

`a)`

Xét `triangle ABD` và `triangle HBE`

Có : `hat{BAD}=hat{BHE}=90^@` `(triangle ABC` vuông tại `A,` đường cao `AH)`

       `hat{ABD}=hat{HBE}` (do `BD` là phân giác của `hat{ABC}`)

Nên `triangle ABD`  $\backsim$  `triangle HBE` `(G-G)`

`=> hat{ADB}=hat{HEB}`

mà `hat{HEB}=hat{AED}` (đối đỉnh)

Nên `hat{ADB}=hat{AED}`

`hay` `hat{ADE}=hat{AED}`

Suy ra `triangle ADE` cân tại `A`

Xét `triangle ABE` và `triangle CBD`

Có : `hat{ABE}=hat{CBD}` `(BD` là phân giác của `hat{ABC})`

       `hat{BAE}=hat{BCD}` `(cùng ` phụ `hat{HAC})`

Nên `triangle ABE`  $\backsim$  `triangle CBD` `(G-G)`

`-> (AE)/(CD)=(BE)/(BD)`

`-> AE*BD=BE*DC`

`b)`

Có `AE bot AB` `(AH` là đường cao của `triangle ABC)`

     `DK bot BC`

`-> AE //// DK` `(1)`

Xét `triangle BAD` và `triangle BKD`

Có : `hat{BAD}=hat{BKD}=90^@`

       `BD` `:` cạnh chung

       `hat{ABD}=hat{KBD}` (vì `BD` là phân giác của `hat{ABC}`)

Nên `triangle BAD=triangle BKD` (cạnh huyền-góc nhọn)

`-> AD=DK` `(2)`

Lại có : `triangle ADE` cân tại `A` `(cmt)`

`-> AD=AE` `(3)`

Từ `(1),(2)` và `(3)`

`=>` tứ giác `ADKE` là hình bình hành

`=> AD=EK ; AE=DK` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` `=> AD=AE=EK=DK`

Do đó : hình bình hành `ADKE` là hình thoi

Vậy tứ giác `ADKE` là hình thoi