Gọi số cần tìm là `overline(a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7)`

`a_1 < a_2 > a_3 < a_4 > a_5 < a_6 > a_7`

`=>`Các chữ số `a_2, a_4, a_6` thuộc tập số nguyên tố `P = {2, 3, 5, 7}`

`=>`Các chữ số `a_1, a_3, a_5, a_7` thuộc tập `V` gồm `4` chữ số phân biệt sao cho `V nn P = O/`

Do mỗi chữ số thuộc `V` luôn nhỏ hơn ít nhất một chữ số kề nó thuộc `P`

`=>` Mọi phần tử của `V < max(P) <= 7`

`=>8, 9 !in V`

Giả sử `{(2 in P),(3 in P):}`

`=>`Chữ số `2` ép `2` chữ số kề nó thuộc `V` phải là `{0, 1}`

`=>`Chữ số `3` ép `2` chữ số kề nó thuộc `V` phải nằm trong `{0, 1, 2} setminus {2} = {0, 1}`

`=>0` và `1` phải đồng thời nằm giữa `2` và `3` (vô lý vì chỉ có `1` vị trí xen giữa hai chữ số này)

`=>P` không chứa đồng thời 2 và 3

`=>[(P = {2, 5, 7}),(P = {3, 5, 7}):}`
TH1: `P = {2, 5, 7}`

Tổng các chữ số thuộc `P` bằng `14`, để tổng `7` chữ số chia hết cho `3`

`=>`Tổng các chữ số thuộc `V` là `S_V -= 1 (mod 3)`

Vì `2 in P=>0, 1` bắt buộc thuộc `V`

`=>`Hai chữ số còn lại của `V` chọn từ `{3, 4, 6}` có tổng chia hết cho `3`

`=>`Chọn `3` và `6`

`=>``V = {0, 1, 3, 6}`

Xét vị trí của chữ số `2` (chỉ kề với `0` và `1`):

- Nếu `a_2 = 2 =>a_1 = 1, a_3 = 0` (do `a_1 != 0`)

  Để `a_5 < min(a_4, a_6) =>a_4 = 5, a_6 = 7`

(nếu `a_4 = 7, a_6 = 5 =>a_5 = 3, a_7 = 6 > a_6` vô lý)

  `=>a_5 = 3, a_7 = 6 =>`Có 1 số

- Nếu `a_4 = 2 =>{a_3, a_5} = {0, 1}` (`2` cách)

  Xếp `5, 7` vào `a_2, a_6` và 3, 6 vào `a_1, a_7` thỏa mãn `a_1 < a_2` và `a_7 < a_6` có `2` cặp:

`a_2=5, a_6=7 =>a_1=3, a_7=6` và `a_2=7, a_6=5 =>a_1=6, a_7=3`

  `=>`Có `2 * 2 = 4` số

- Nếu `a_6 = 2 =>{a_5, a_7} = {0, 1}` (`2` cách)

  `a_3 < min(a_2, a_4) <= 5 =>a_3 = 3 =>a_1 = 6`

  `a_1 < a_2 =>6 < a_2 =>a_2 = 7, a_4 = 5`

  `=>`Có `2 * 1 = 2` số

`=>`TH1 có `1 + 4 + 2 = 7` số

TH2: `P = {3, 5, 7}`

Tổng các chữ số thuộc `P` bằng `15 =>S_V -= 0 (mod 3)`

Các chữ số của `V` chọn từ `{0, 1, 2, 4, 6}` có tổng bằng `13`

Để `S_V -= 0 (mod 3)` ta loại đi chữ số chia `3` dư `1` (loại `1` hoặc `4`)

`=>[(V_1 = {0, 2, 4, 6}),(V_2 = {0, 1, 2,6}):}`

Xét `V_1 = {0, 2, 4, 6}`

Chữ số `3` ép `2` chữ số kề nó thuộc `V` phải là `{0, 2}`

CMTT TH1 (thay chữ số `2` bằng `3`, tập `{0, 1}` bằng `{0, 2}`, tập `{3, 6}` bằng `{4, 6}`)

`=>`Có `7` số

Xét `V_2 = {0, 1, 2, 6}`

Chữ số `6` phải kề với chữ số lớn hơn nó `=>6` chỉ kề với `7`

`=>6` không thể nằm giữa hai chữ số thuộc `P=>[(a_1 = 6),(a_7 = 6):}`

- Nếu `a_1 = 6 =>a_2 = 7`

  Xếp `3; 5` vào `a_4, a_6` (`2!` cách) và `0, 1, 2` vào `a_3, a_5, a_7` (`3!` cách)

  Vì các chữ số còn lại của `V` đều `<= 2` luôn nhỏ hơn các chữ số còn lại của `P` đều `>= 3`

  `=>`Các cách xếp đều thỏa mãn

  `=>`Có `2! * 3! = 12` số

- Nếu `a_7 = 6 =>a_6 = 7`

  Vì `a_1 != 0 =>a_1 in {1, 2}` (2 cách)

  Xếp 2 chữ số còn lại của `V` vào `a_3, a_5` (`2!` cách) và `3, 5` vào `a_2, a_4` (`2!` cách)

  `=>`Có `2 * 2! * 2! = 8` số

`=>`TH2 có `7 + 12 + 8 = 27` số

$\\$

`=>` Tổng số thỏa mãn: `7 + 27 = 34` số