Giả sử `sqrt(2)` là số hữu tỉ.

`⇒ sqrt(2)` có thể viết được dưới dạng `m/n` với `m, n ∈ N` và `(m, n) = 1`

Ta có:

`sqrt(2) = m/n ⇒ (sqrt(2))^2 = (m/n)^2` hay `2 = [m^2] / [n^2]` 

`⇒ m^2 = 2n^2`

Mà `(m, n) = 1 ⇒ m^2 vdots 2` hay `m vdots 2`

`⇒ m = 2k` với `k ∈ N` và `(k, n) = 1`

Thay `m = 2k` vào `m^2 = 2n^2` ta có:

`4k^2 = 2n^2` hay `n^2 = 2k^2` 

Vì `(k, n) = 1 ⇒ n^2 vdots 2` hay `n vdots 2`

`⇒ m` và `n vdots 2` (mâu thuẫn với (m, n) = 1)

Vậy `sqrt(2)` là số vô tỉ.