Gọi `E` là trung điểm của `AC`
Xét `triangle ABC` có `M` và `E` lần lượt là trung điểm của `AB` và `AC`
`=> ME` là đường trung bình của `triangle ABC`
`=> ME "//" BC` (t/c)
Gọi `d_1` là đường thẳng đi qua `N` và vuông góc với `BC`
Vì `d_1 _|_ BC` và `ME "//" BC`
`=> d_1 _|_ ME` (từ `"//" to _|_`)
`=> d_1` chứa đường cao kẻ từ đỉnh `N` của `triangle MNE`
Xét `triangle ADC` có `N` và `E` lần lượt là trung điểm của `AD` và `AC`
`=> NE` là đường trung bình của `triangle ADC`
`=> NE "//" CD` (t/c)
Gọi `d_2` là đường thẳng đi qua `M` và vuông góc với `CD`
Vì `d_2 _|_ CD` và `NE "//" CD`
`=> d_2 _|_ NE` (từ `"//" to _|_`)
`=> d_2` chứa đường cao kẻ từ đỉnh `M` của `triangle MNE`
Gọi `I=d_1 nn d_2`
Xét `triangle MNE` có `I` là giao điểm của hai đường cao `d_1` và `d_2`
`=> I` là trực tâm của `triangle MNE`
`=> IE _|_ MN`
Xét `triangle ABD` có `M` và `N` lần lượt là trung điểm của `AB` và `AD`
`=> MN` là đường trung bình của `triangle ABD` (theo đ/n)
`=> MN "//" BD` (t/c)
Theo giả thiết `AC _|_ BD`
`=> AC _|_ MN`
Ta có `IE _|_ MN` và `AC _|_ MN`
Mà `E in AC` (do `E` là trung điểm `AC`)
`=>IE` trùng với đường thẳng `AC`
`=> I in AC`
`=>` Đường thẳng qua `M` vuông góc với `CD`, đường thẳng qua `N` vuông góc với `BC` và đường thẳng `AC` đồng quy tại `I`

(DPCM)