Có những lúc tìm đúng người, nhưng sai thời điểm...

Gọi `R` là bán kính của `(O)` và đặt `OC = c`
Theo giả thiết `C` nằm giữa `O` và `B` nên `OB = OC + BC`
Mà `OC = 3BC => BC = c/3`
`=> R = OB = c + c/3 = (4c)/3 => R/c = 4/3`
Đặt `hat(MCA) = hat(NCB) = alpha`
Gọi `D` là điểm đối xứng của `M` qua đường kính `AB`
Vì `M in (O)` nên `D in (O)`
Theo tính chất đối xứng, ta có: `{(CD = CM),(hat(DCA) = hat(MCA) = alpha):}`
Vì `A, C, B` thẳng hàng `=>hat(DCA) + hat(DCB) = 180^@`
`=> alpha + hat(DCB) = 180^@`
Mà `hat(NCB) = alpha => hat(NCB) + hat(DCB) = 180^@`
`=> D, C, N` thẳng hàng
`=> DN` là một dây cung của `(O)` đi qua `C`
Xét hai dây cung `DN` và `AB` cắt nhau tại `C` bên trong đường tròn, ta có:
`CD * CN = CA * CB`
`=> CM * CN = (R + c)(R - c) = R^2 - c^2`
Kẻ `OI _|_ DN` tại `I => I` là trung điểm của dây `DN`
`=> ID = IN = (DN)/2 = (CD + CN)/2 = (CM + CN)/2`
Vì `CM - CN = 6,1 > 0 => CM > CN => CD > CN`
`=> I` nằm giữa `C` và `D`
`=> IC = CD - ID = CM - (CM + CN)/2 = (CM - CN)/2`
Xét `triangle OIC` vuông tại `I`, ta có `hat(ICO) = hat(DCA) = alpha` (do `O` thuộc tia `CA`)
`=> IC = OCcos alpha => (CM - CN)/2 = ccos alpha => CM - CN = 2c*cos alpha`
Kẻ `MH _|_ DN` tại `H`
Ta có `hat(MCH) = hat(DCA) + hat(MCA) = 2alpha` (góc ngoài tại đỉnh `C` của `triangle MCN`)
Xét `triangle MCH` vuông tại `H`:
`CH = CMcos 2alpha` và `MH^2 = CM^2 - CH^2`
Xét `triangle MHN` vuông tại `H`, áp dụng định lý Pythagoras
`=>MN^2 = MH^2 + HN^2 = MH^2 + (CH + CN)^2 `

`= MH^2 + CH^2 + CN^2 + 2CH*CN`
`=> MN^2 = CM^2 + CN^2 + 2CM*CNcos 2alpha`
` = CM^2 + CN^2 + 2*CM*CN(2cos^2 alpha - 1)`
`= CM^2 + CN^2 - 2*CM*CN + 4*CM*CNcos^2 alpha`
`= (CM - CN)^2 + 4*CM*CN*cos^2 alpha`   `("*")`
Thay `CM * CN = R^2 - c^2` và `cos alpha = (CM - CN)/(2c)` vào `("*")`
`=>MN^2 = (CM - CN)^2 + 4(R^2 - c^2) * (CM - CN)^2/(4c^2)`
`= (CM - CN)^2 [1 + (R^2 - c^2)/c^2]`
`= (CM - CN)^2 (R^2/c^2)`
`=> MN = (CM - CN) * R/c`
`= 6,1 * 4/3 ~~ 8,1` (cm)