`sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+...)))= / ?`

Xét hằng đẳng thức:

`(n+1)^2=n^2+2n+1=1+n(n+2)`

Lấy căn bậc hai hai vế (với `n>0`), ta có:

`n+1=sqrt(1+n(n+2)) \ (1)`

Áp dụng công thức `(1)` liên tiếp cho các giá trị của `n:`

`+` Với `n=2:`

`3=sqrt(1+2.4)`

Mặt khác, với `n=3`, theo công thức `(1)`:

`4=sqrt(1+3.5)`

Thay vào biểu thức của số `3` ở trên, ta được:

`3=sqrt(1+2sqrt(1+3.5))`

Tiếp tục với `n=4`, theo công thức `(1)` có:

`5=sqrt(1+4.6)`

Thay vào biểu thức trêm, ta được:

`3=sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+4.6)))`

Tiếp tục quá trình thay vào vô tận, ta được:

`3=sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+4sqrt(1+...))))`

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là:

`sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+...)))=3`

_-------------------------_

`***` Mở rộng một chút thì đây là bài toán về căn thức lồng vô hạn của nhà toán học người Ấn Độ Ramanujan.

$\color{#FF2E8A}{♡^♡}
\color{#FF3B94}{𝕻}
\color{#FF4FA3}{𝖍}
\color{#FF61AE}{𝖚}
\color{#FF73B6}{𝖔}
\color{#FF85BF}{𝖓}
\color{#FF97C8}{𝖌}
\color{#FFA9D1}{𝖌} \ 
\color{#FFB9D9}{𝕷}
\color{#FFC9E1}{𝖎}
\color{#FFD6E8}{𝖓}
\color{#FFE3EF}{𝖍}
\color{#FFF0F6}{𝖍}
\color{#FF2E8A}{♡^♡}$