Đáp án:

`***` Bổ đề `1:` trong tứ giác có `2` góc cùng nhìn `1` cạnh mà cùng bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp.

`-` Chứng minh:

Cho tứ giác `ABCD,hat(ADB)=hat(ACB).`

Ta có: `triangleABC` nội tiếp `(O).`

Gọi `D'` là điểm nằm trên `(O).`

Khi đó: tứ giác `ABCD` nội tiếp `(O).`

suy ra: `hat(AD'B)=hat(ACB).`

Mà `hat(ADB)=hat(ACB)` `(gt).`

nên `hat(AD'B)=hat(ADB).`

suy ra: `D\equiv D'`

Vậy ta có đpcm.

`***` Bổ đề `2:` chứng minh tương tự bổ đề `1.`

`***` Bổ đề `3:` góc có đỉnh ngoài đường tròn bằng `1` nửa số đo cung lớn trừ `1` nửa số đo cung bé.

`-` Chứng minh:

Cho `M` nằm ngoài đường tròn `(O),A,B,C,D` là các điểm thuộc `(O).`

Ta có: `hat(DAC)=hat(ACM)+hat(AMC)` `(`tính chất góc ngoài của `triangle).`

suy ra: `hat(AMC)=hat(DAC)-hat(ACM)`

Mà `hat(ACM)=1/2\text{sđ}`$\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$

`hat(DAC)=1/2\text{sđ}`$\mathop{DC}\limits^{\displaystyle\frown}$

nên `hat(AMC)=1/2\text{sđ}`$\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$`-1/2\text{sđ}`$\mathop{DC}\limits^{\displaystyle\frown}$

Vậy ta có đpcm.